Страница 148 номер 851, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите наименьшее значение выражения \(4x^2 - 20x + 21\). При каком значении \(x\) оно достигается?
\(4x^2 = (2x)^2\), \(20x = 2 \cdot 2x \cdot 5\), а недостающее для полного квадрата число \(5^2 = 25\) прибавим и вычтем:
\[4x^2 - 20x + 21 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 25 - 25 + 21 = (2x - 5)^2 - 4.\]
Квадрат двучлена неотрицателен, поэтому \((2x - 5)^2 - 4 \geqslant -4\) при любом \(x\).
Значение \(-4\) достигается при \((2x - 5)^2 = 0\), то есть \(2x - 5 = 0\), \(2x = 5\), \(x = 2{,}5\).
Ответ: \(-4\); при \(x = 2{,}5\).
Найдите наименьшее значение выражения \(4x^2 - 20x + 21\). При каком значении \(x\) оно достигается?
Выделим в выражении полный квадрат. Первый член — квадрат выражения \(2x\), ведь \(4x^2 = (2x)^2\), а второй член равен удвоенному произведению \(2x\) и 5, взятому со знаком минус: \(2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x\). Для полного квадрата не хватает числа \(5^2 = 25\) — прибавим его и тут же вычтем:
\[4x^2 - 20x + 21 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 25 - 25 + 21 = (2x - 5)^2 - 4.\]
Квадрат двучлена принимает только неотрицательные значения, поэтому \((2x - 5)^2 - 4 \geqslant -4\) при любом \(x\).
Значение \(-4\) выражение принимает тогда, когда \((2x - 5)^2 = 0\), то есть при \(2x - 5 = 0\). Отсюда \(2x = 5\) и \(x = 2{,}5\).
Наименьшее значение выражения равно \(-4\), и достигается оно при \(x = 2{,}5\).
Ответ: \(-4\); при \(x = 2{,}5\).
