Страница 147 номер 841, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите на множители выражение \((4a + b)^3 - 64a^3 - b^3\).
\(-64a^3 - b^3 = -((4a)^3 + b^3)\) — сумма кубов, поэтому общий множитель \(4a + b\):
\[\begin{aligned} &(4a + b)^3 - 64a^3 - b^3 = (4a + b)^3 - (4a + b)((4a)^2 - 4a \cdot b + b^2) = {} \\ &= (4a + b)((4a + b)^2 - (16a^2 - 4ab + b^2)) = {} \\ &= (4a + b)(16a^2 + 8ab + b^2 - 16a^2 + 4ab - b^2) = {} \\ &= (4a + b) \cdot 12ab = 12ab(4a + b). \end{aligned}\]
Ответ: \(12ab(4a + b)\).
Разложите на множители выражение \((4a + b)^3 - 64a^3 - b^3\).
Соберём два последних члена: \(-64a^3 - b^3 = -(64a^3 + b^3)\), а \(64a^3 + b^3 = (4a)^3 + b^3\) — это сумма кубов. По формуле суммы кубов \((4a)^3 + b^3 = (4a + b)((4a)^2 - 4a \cdot b + b^2) = (4a + b)(16a^2 - 4ab + b^2)\).
Значит, в выражении есть общий множитель \(4a + b\).
\[(4a + b)^3 - 64a^3 - b^3 = (4a + b)^3 - (4a + b)(16a^2 - 4ab + b^2).\]
Вынесем этот множитель за скобки и приведём подобные слагаемые во второй скобке.
\[\begin{aligned} &(4a + b)((4a + b)^2 - (16a^2 - 4ab + b^2)) = {} \\ &= (4a + b)(16a^2 + 8ab + b^2 - 16a^2 + 4ab - b^2) = {} \\ &= (4a + b) \cdot 12ab = 12ab(4a + b). \end{aligned}\]
Ответ: \(12ab(4a + b)\).
