Страница 147 номер 834, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите два делителя числа \(382^3 + 218^3\), не равных самому числу.
\[\begin{aligned} &382^3 + 218^3 = (382 + 218)(382^2 - 382 \cdot 218 + 218^2) = {} \\ &= 600 \cdot (382^2 - 382 \cdot 218 + 218^2). \end{aligned}\]
\(382^2 = (400 - 18)^2 = 400^2 - 2 \cdot 400 \cdot 18 + 18^2 = 160\,000 - 14\,400 + 324 = 145\,924\) — квадрат первого числа.
\(382 \cdot 218 = (300 + 82)(300 - 82) = 300^2 - 82^2 = 90\,000 - 6724 = 83\,276\) — произведение чисел.
\(218^2 = (220 - 2)^2 = 220^2 - 2 \cdot 220 \cdot 2 + 2^2 = 48\,400 - 880 + 4 = 47\,524\) — квадрат второго числа.
\(145\,924 - 83\,276 + 47\,524 = 110\,172\) — значение второй скобки.
Оба множителя произведения \(600 \cdot 110\,172\) — делители числа, и самому числу они не равны: каждый умножается на число, большее 1.
Ответ: 600 и \(110\,172\).
Найдите два делителя числа \(382^3 + 218^3\), не равных самому числу.
Применим формулу суммы кубов \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\), подставив \(a = 382\) и \(b = 218\).
\[\begin{aligned} &382^3 + 218^3 = (382 + 218)(382^2 - 382 \cdot 218 + 218^2) = {} \\ &= 600 \cdot (382^2 - 382 \cdot 218 + 218^2). \end{aligned}\]
Значение второй скобки посчитаем по формулам сокращённого умножения, заменив каждое число на сумму или разность чисел, с которыми удобнее считать.
\(382^2 = (400 - 18)^2 = 400^2 - 2 \cdot 400 \cdot 18 + 18^2 = 160\,000 - 14\,400 + 324 = 145\,924\) — квадрат первого числа.
\(382 \cdot 218 = (300 + 82)(300 - 82) = 300^2 - 82^2 = 90\,000 - 6724 = 83\,276\) — произведение чисел.
\(218^2 = (220 - 2)^2 = 220^2 - 2 \cdot 220 \cdot 2 + 2^2 = 48\,400 - 880 + 4 = 47\,524\) — квадрат второго числа.
\(145\,924 - 83\,276 + 47\,524 = 110\,172\) — значение второй скобки.
Значит, \(382^3 + 218^3 = 600 \cdot 110\,172\). Оба множителя этого произведения — делители числа \(382^3 + 218^3\). Самому числу они не равны: каждый множитель умножается на число, большее 1, поэтому произведение больше каждого из множителей.
Ответ: 600 и \(110\,172\).
