Страница 147 номер 830, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(5x^3 - 20x = 0\); б) \(x^3 + 16x = 0\); в) \(x^2 - 16 = x - 4\).
а)
\[5x^3 - 20x = 5x(x^2 - 4) = 5x(x - 2)(x + 2).\]
\(5x(x - 2)(x + 2) = 0\), откуда \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -2\).
б)
\[x^3 + 16x = x(x^2 + 16).\]
Второй множитель нулём быть не может: наименьшее значение выражения \(x^2 + 16\) равно 16. Поэтому \(x(x^2 + 16) = 0\) только при \(x = 0\).
в) Перенесём все члены в левую часть:
\[x^2 - 16 - x + 4 = (x - 4)(x + 4) - (x - 4) = (x - 4)(x + 4 - 1) = (x - 4)(x + 3).\]
\((x - 4)(x + 3) = 0\), откуда \(x = 4\) или \(x = -3\).
Ответ: а) \(-2\); 0; 2; б) 0; в) \(-3\); 4.
Решите уравнение: а) \(5x^3 - 20x = 0\); б) \(x^3 + 16x = 0\); в) \(x^2 - 16 = x - 4\).
а) Вынесем за скобки общий множитель \(5x\), а к разности в скобках применим формулу разности квадратов.
\[5x^3 - 20x = 5x(x^2 - 4) = 5x(x - 2)(x + 2).\]
Уравнение принимает вид \(5x(x - 2)(x + 2) = 0\). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен один из множителей: \(5x = 0\), или \(x - 2 = 0\), или \(x + 2 = 0\), откуда \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -2\).
б) Вынесем за скобки общий множитель \(x\).
\[x^3 + 16x = x(x^2 + 16).\]
Второй множитель нулём быть не может: наименьшее значение выражения \(x^2 + 16\) равно 16. Поэтому уравнение \(x(x^2 + 16) = 0\) выполняется только при \(x = 0\).
в) Перенесём все члены в левую часть. По формуле разности квадратов \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\), поэтому двучлен \(x - 4\) оказывается общим множителем.
\[x^2 - 16 - x + 4 = (x - 4)(x + 4) - (x - 4) = (x - 4)(x + 4 - 1) = (x - 4)(x + 3).\]
Уравнение принимает вид \((x - 4)(x + 3) = 0\), откуда \(x = 4\) или \(x = -3\).
Ответ: а) \(-2\); 0; 2; б) 0; в) \(-3\); 4.
