Страница 147 номер 829, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Многочлен \(x^{56} - 5^{56}\) разложили на множители, используя формулу разности квадратов:
\[x^{56} - 5^{56} = (x^{14} - 5^{14}) \cdot (x^{28} + 5^{28}) \cdot (x^{14} + 5^{14}).\]
При каких значениях переменной \(x\) выражение \(x^{56} - 5^{56}\) равно нулю?
Показатели 14 и 28 чётные, поэтому \(x^{14} \geqslant 0\) и \(x^{28} \geqslant 0\): наименьшие значения выражений \(x^{14} + 5^{14}\) и \(x^{28} + 5^{28}\) равны \(5^{14}\) и \(5^{28}\), они положительны — второй и третий множители нулём быть не могут.
Остаётся множитель \(x^{14} - 5^{14}\) — разность седьмых степеней чисел \(x^2\) и \(5^2 = 25\):
\[\begin{aligned} &x^{14} - 5^{14} = (x^2)^7 - 25^7 = {} \\ &= (x^2 - 25)(x^{12} + 25x^{10} + 25^2x^8 + 25^3x^6 + 25^4x^4 + 25^5x^2 + 25^6). \end{aligned}\]
Вторая скобка нулём быть не может: шесть первых слагаемых — произведения положительных чисел на чётные степени \(x\), они неотрицательны, а последнее равно \(25^6\).
Остаётся \(x^2 - 25 = 0\), то есть \((x - 5)(x + 5) = 0\), откуда \(x = 5\) или \(x = -5\).
Ответ: при \(x = -5\) и при \(x = 5\).
Многочлен \(x^{56} - 5^{56}\) разложили на множители, используя формулу разности квадратов:
\[x^{56} - 5^{56} = (x^{14} - 5^{14}) \cdot (x^{28} + 5^{28}) \cdot (x^{14} + 5^{14}).\]
При каких значениях переменной \(x\) выражение \(x^{56} - 5^{56}\) равно нулю?
Произведение \((x^{14} - 5^{14})(x^{28} + 5^{28})(x^{14} + 5^{14})\) равно нулю тогда и только тогда, когда нулю равен один из множителей.
Показатели 14 и 28 чётные, поэтому \(x^{14} \geqslant 0\) и \(x^{28} \geqslant 0\) при любом значении \(x\). Значит, наименьшее значение выражения \(x^{14} + 5^{14}\) равно \(5^{14}\), а наименьшее значение выражения \(x^{28} + 5^{28}\) равно \(5^{28}\); оба эти числа положительны, поэтому второй и третий множители нулём быть не могут.
Остаётся множитель \(x^{14} - 5^{14}\). Представим его как разность седьмых степеней чисел \(x^2\) и \(5^2 = 25\) и применим формулу разности \(n\)-х степеней \(a^7 - b^7 = (a - b)(a^6 + a^5b + a^4b^2 + a^3b^3 + a^2b^4 + ab^5 + b^6)\), подставив \(a = x^2\) и \(b = 25\).
\[\begin{aligned} &x^{14} - 5^{14} = (x^2)^7 - 25^7 = {} \\ &= (x^2 - 25)(x^{12} + 25x^{10} + 25^2x^8 + 25^3x^6 + 25^4x^4 + 25^5x^2 + 25^6). \end{aligned}\]
Вторая скобка нулём быть не может: шесть её первых слагаемых — произведения положительных чисел на чётные степени \(x\), они неотрицательны, а последнее слагаемое равно \(25^6\). Значит, вся скобка положительна.
Остаётся равенство \(x^2 - 25 = 0\). По формуле разности квадратов \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\), поэтому \(x - 5 = 0\) или \(x + 5 = 0\), то есть \(x = 5\) или \(x = -5\).
Ответ: при \(x = -5\) и при \(x = 5\).
