Страница 146 номер 825, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях переменной \(x\) выражение \(x^4 - 49^2\) равно нулю?
\[x^4 - 49^2 = (x^2)^2 - 49^2 = (x^2 - 49)(x^2 + 49).\]
\[x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7).\]
\[x^4 - 49^2 = (x - 7)(x + 7)(x^2 + 49).\]
\(x - 7 = 0\) или \(x + 7 = 0\), откуда \(x = 7\) и \(x = -7\).
Множитель \(x^2 + 49\) нулём быть не может: \(x^2\) принимает только неотрицательные значения, поэтому наименьшее значение \(x^2 + 49\) равно 49.
Ответ: \(-7\); 7.
При каких значениях переменной \(x\) выражение \(x^4 - 49^2\) равно нулю?
Выражение \(x^4 - 49^2\) — это разность квадратов выражений \(x^2\) и 49, потому что \(x^4 = (x^2)^2\). Применим формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\):
\[x^4 - 49^2 = (x^2)^2 - 49^2 = (x^2 - 49)(x^2 + 49).\]
Первый множитель — снова разность квадратов, потому что \(49 = 7^2\):
\[x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7).\]
Значит, \(x^4 - 49^2 = (x - 7)(x + 7)(x^2 + 49)\).
Значение произведения равно нулю, когда нулю равен один из множителей. Из равенства \(x - 7 = 0\) получаем \(x = 7\), а из равенства \(x + 7 = 0\) получаем \(x = -7\).
Множитель \(x^2 + 49\) нулём быть не может: выражение \(x^2\) принимает только неотрицательные значения, поэтому наименьшее значение выражения \(x^2 + 49\) равно 49.
Следовательно, выражение \(x^4 - 49^2\) равно нулю при \(x = 7\) и при \(x = -7\).
Ответ: \(-7\); 7.
