Страница 146 номер 824, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Многочлен \(256 - x^4\) разложили на множители, используя формулу разности квадратов:
\[256 - x^4 = (4 - x) \cdot (4 + x) \cdot (16 + x^2).\]
При каких значениях переменной \(x\) выражение \(256 - x^4\) равно нулю?
\(256 - x^4 = 16^2 - (x^2)^2 = (16 - x^2)(16 + x^2)\), а \(16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4 - x)(4 + x)\).
\[256 - x^4 = (4 - x)(4 + x)(16 + x^2).\]
\(4 - x = 0\) или \(4 + x = 0\), откуда \(x = 4\) и \(x = -4\).
Множитель \(16 + x^2\) нулём быть не может: \(x^2\) принимает только неотрицательные значения, поэтому наименьшее значение \(16 + x^2\) равно 16.
Ответ: \(-4\); 4.
Многочлен \(256 - x^4\) разложили на множители, используя формулу разности квадратов:
\[256 - x^4 = (4 - x) \cdot (4 + x) \cdot (16 + x^2).\]
При каких значениях переменной \(x\) выражение \(256 - x^4\) равно нулю?
Разложение из условия получается двукратным применением формулы разности квадратов: сначала \(256 - x^4 = 16^2 - (x^2)^2 = (16 - x^2)(16 + x^2)\), а затем \(16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4 - x)(4 + x)\). Поэтому:
\[256 - x^4 = (4 - x)(4 + x)(16 + x^2).\]
Значение произведения равно нулю, когда нулю равен один из множителей.
Из равенства \(4 - x = 0\) получаем \(x = 4\), а из равенства \(4 + x = 0\) получаем \(x = -4\).
Третий множитель нулём быть не может: выражение \(x^2\) принимает только неотрицательные значения, поэтому наименьшее значение выражения \(16 + x^2\) равно 16 и достигается при \(x = 0\).
Следовательно, выражение \(256 - x^4\) равно нулю при \(x = 4\) и при \(x = -4\).
Ответ: \(-4\); 4.
