Страница 146 номер 804, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен \(b^8 - 256\) на множители, используя формулу разности восьмых степеней.
\(2^8 = 256\); формула разности восьмых степеней:
\[x^8 - y^8 = (x - y)(x^7 + x^6y + x^5y^2 + x^4y^3 + x^3y^4 + x^2y^5 + xy^6 + y^7).\]
\[\begin{aligned} &b^8 - 256 = b^8 - 2^8 = {} \\ &= (b - 2)(b^7 + b^6 \cdot 2 + b^5 \cdot 2^2 + b^4 \cdot 2^3 + b^3 \cdot 2^4 + b^2 \cdot 2^5 + b \cdot 2^6 + 2^7) = {} \\ &= (b - 2)(b^7 + 2b^6 + 4b^5 + 8b^4 + 16b^3 + 32b^2 + 64b + 128). \end{aligned}\]
Ответ: \((b - 2)(b^7 + 2b^6 + 4b^5 + 8b^4 + 16b^3 + 32b^2 + 64b + 128)\).
Разложите многочлен \(b^8 - 256\) на множители, используя формулу разности восьмых степеней.
Число 256 — это восьмая степень числа 2, ведь \(2^8 = 256\). В формуле разности восьмых степеней первый множитель — разность оснований, а во втором множителе восемь слагаемых: показатель первого основания убывает от 7 до 0, а показатель второго растёт от 0 до 7:
\[x^8 - y^8 = (x - y)(x^7 + x^6y + x^5y^2 + x^4y^3 + x^3y^4 + x^2y^5 + xy^6 + y^7).\]
Подставим в эту формулу \(x = b\) и \(y = 2\).
\[\begin{aligned} &b^8 - 256 = b^8 - 2^8 = {} \\ &= (b - 2)(b^7 + b^6 \cdot 2 + b^5 \cdot 2^2 + b^4 \cdot 2^3 + b^3 \cdot 2^4 + b^2 \cdot 2^5 + b \cdot 2^6 + 2^7) = {} \\ &= (b - 2)(b^7 + 2b^6 + 4b^5 + 8b^4 + 16b^3 + 32b^2 + 64b + 128). \end{aligned}\]
Степени двойки во втором множителе посчитаны: \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\), \(2^4 = 16\), \(2^5 = 32\), \(2^6 = 64\), \(2^7 = 128\).
Ответ: \((b - 2)(b^7 + 2b^6 + 4b^5 + 8b^4 + 16b^3 + 32b^2 + 64b + 128)\).
