Страница 141 номер 792, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Восстановите разложение на множители: а) \(x^5 + 243 = (x + 3) \cdot \_\_\_\_\_\_\_\); б) \(a^6 - 729b^6 = (a - 3b) \cdot \_\_\_\_\_\_\_\).
а) \(243 = 3^5\), поэтому \(x^5 + 243 = x^5 + 3^5\) — сумма пятых степеней, показатель нечётный: степени \(x\) убывают, степени числа 3 возрастают, знаки чередуются, слагаемых пять.
\[\begin{aligned} &x^5 + 3^5 = (x + 3)(x^4 - x^3 \cdot 3 + x^2 \cdot 3^2 - x \cdot 3^3 + 3^4) = {} \\ &= (x + 3)(x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 27x + 81). \end{aligned}\]
б) \(729b^6 = (3b)^6\), поэтому \(a^6 - 729b^6 = a^6 - (3b)^6\) — разность шестых степеней \(a\) и \(3b\): все знаки плюсы, слагаемых шесть.
\[\begin{aligned} &a^6 - (3b)^6 = (a - 3b)(a^5 + a^4 \cdot 3b + a^3(3b)^2 + a^2(3b)^3 + a(3b)^4 + (3b)^5) = {} \\ &= (a - 3b)(a^5 + 3a^4b + 9a^3b^2 + 27a^2b^3 + 81ab^4 + 243b^5). \end{aligned}\]
Ответ: а) \(x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 27x + 81\); б) \(a^5 + 3a^4b + 9a^3b^2 + 27a^2b^3 + 81ab^4 + 243b^5\).
Восстановите разложение на множители: а) \(x^5 + 243 = (x + 3) \cdot \_\_\_\_\_\_\_\); б) \(a^6 - 729b^6 = (a - 3b) \cdot \_\_\_\_\_\_\_\).
а) Число 243 — это \(3^5\), поэтому двучлен является суммой пятых степеней: \(x^5 + 243 = x^5 + 3^5\).
Показатель 5 нечётный, значит, применима формула суммы нечётных степеней. Подставим в неё \(x\) и 3: во втором множителе степени \(x\) убывают, степени числа 3 возрастают, а знаки чередуются.
\[\begin{aligned} &x^5 + 3^5 = (x + 3)(x^4 - x^3 \cdot 3 + x^2 \cdot 3^2 - x \cdot 3^3 + 3^4) = {} \\ &= (x + 3)(x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 27x + 81). \end{aligned}\]
Во втором множителе пять слагаемых — столько же, каков показатель степени.
б) Одночлен \(729b^6\) — это \((3b)^6\), поэтому двучлен является разностью шестых степеней выражений \(a\) и \(3b\): \(a^6 - 729b^6 = a^6 - (3b)^6\).
Подставим в формулу разности шестых степеней \(a\) и \(3b\); во втором множителе все знаки — плюсы.
\[\begin{aligned} &a^6 - (3b)^6 = (a - 3b)(a^5 + a^4 \cdot 3b + a^3(3b)^2 + a^2(3b)^3 + a(3b)^4 + (3b)^5) = {} \\ &= (a - 3b)(a^5 + 3a^4b + 9a^3b^2 + 27a^2b^3 + 81ab^4 + 243b^5). \end{aligned}\]
Во втором множителе шесть слагаемых — столько же, каков показатель степени.
Ответ: а) \(x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 27x + 81\); б) \(a^5 + 3a^4b + 9a^3b^2 + 27a^2b^3 + 81ab^4 + 243b^5\).
