Страница 141 номер 791, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Простым или составным является число \(6^{11} + 7^{11}\)? Если число является составным, приведите пример его делителя, отличного от 1 и \(6^{11} + 7^{11}\).
Показатель 11 нечётный: степени числа 6 убывают, степени числа 7 возрастают, знаки чередуются, слагаемых 11.
\[\begin{aligned} &6^{11} + 7^{11} = (6 + 7)(6^{10} - 6^9 \cdot 7 + 6^8 \cdot 7^2 - 6^7 \cdot 7^3 + {} \\ &+ 6^6 \cdot 7^4 - 6^5 \cdot 7^5 + 6^4 \cdot 7^6 - 6^3 \cdot 7^7 + 6^2 \cdot 7^8 - 6 \cdot 7^9 + 7^{10}). \end{aligned}\]
\(6 + 7 = 13\), а второй множитель — целое число, значит, \(6^{11} + 7^{11}\) делится на 13.
Само число больше 13: уже слагаемое \(7^{11}\) больше, чем \(7^2 = 49\). Значит, 13 — делитель, отличный и от 1, и от самого числа, поэтому число составное.
Ответ: число составное; например, оно делится на 13.
Простым или составным является число \(6^{11} + 7^{11}\)? Если число является составным, приведите пример его делителя, отличного от 1 и \(6^{11} + 7^{11}\).
Показатель 11 нечётный, поэтому к сумме \(6^{11} + 7^{11}\) применима формула суммы нечётных степеней. Подставим в неё числа 6 и 7: во втором множителе степени числа 6 убывают, степени числа 7 возрастают, знаки чередуются, а всего слагаемых 11.
\[\begin{aligned} &6^{11} + 7^{11} = (6 + 7)(6^{10} - 6^9 \cdot 7 + 6^8 \cdot 7^2 - 6^7 \cdot 7^3 + {} \\ &+ 6^6 \cdot 7^4 - 6^5 \cdot 7^5 + 6^4 \cdot 7^6 - 6^3 \cdot 7^7 + 6^2 \cdot 7^8 - 6 \cdot 7^9 + 7^{10}). \end{aligned}\]
Первый множитель равен \(6 + 7 = 13\), а второй множитель — целое число, потому что он составлен из натуральных чисел сложением и вычитанием. Значит, число \(6^{11} + 7^{11}\) делится на 13.
Само число \(6^{11} + 7^{11}\) больше 13: уже одно его слагаемое \(7^{11}\) больше, чем \(7^2 = 49\). Значит, 13 — делитель числа \(6^{11} + 7^{11}\), отличный и от 1, и от самого этого числа, поэтому число составное.
Ответ: число составное; например, оно делится на 13.
