Страница 141 номер 789, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите на множители: \(x^8 - y^8 = (\_\_\_) \cdot (\_\_\_) \cdot (\_\_\_) \cdot (\_\_\_)\).
Показатель 8 чётный: \(x^8 = (x^4)^2\) и \(y^8 = (y^4)^2\) — разность квадратов.
\[x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4).\]
\[x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2).\]
\[x^8 - y^8 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4).\]
Сумма чётных степеней в общем случае на множители не раскладывается: \(x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2\), а \(2x^2y^2\) квадратом одночлена не является. Множителей ровно четыре — столько же скобок и в условии.
Ответ: \((x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)\).
Разложите на множители: \(x^8 - y^8 = (\_\_\_) \cdot (\_\_\_) \cdot (\_\_\_) \cdot (\_\_\_)\).
Показатель 8 чётный, поэтому двучлен можно записать как разность квадратов: \(x^8 = (x^4)^2\) и \(y^8 = (y^4)^2\).
\[x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4).\]
Первый множитель — снова разность квадратов, и полученная в нём разность \(x^2 - y^2\) раскладывается ещё раз.
\[x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2).\]
Соберём все множители вместе.
\[x^8 - y^8 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4).\]
Дальше раскладывать нечего: формулы для разложения на множители суммы чётных степеней в общем случае не существует. Приём с добавлением удвоенного произведения тоже не помогает, потому что \(x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2\), а одночлен \(2x^2y^2\) квадратом одночлена не является. Множителей получилось ровно четыре — столько же скобок и в условии.
Ответ: \((x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)\).
