Страница 141 номер 788, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Восстановите разложение на множители: а) \(x^5 + 32 = (x + 2) \cdot \_\_\_\_\_\_\_\); б) \(64a^6 - b^6 = (2a - b) \cdot \_\_\_\_\_\_\_\).
а) \(32 = 2^5\), поэтому \(x^5 + 32 = x^5 + 2^5\) — сумма пятых степеней, показатель нечётный: степени \(x\) убывают, степени числа 2 возрастают, знаки чередуются, слагаемых пять.
\[\begin{aligned} &x^5 + 2^5 = (x + 2)(x^4 - x^3 \cdot 2 + x^2 \cdot 2^2 - x \cdot 2^3 + 2^4) = {} \\ &= (x + 2)(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16). \end{aligned}\]
б) \(64a^6 = (2a)^6\), поэтому \(64a^6 - b^6 = (2a)^6 - b^6\) — разность шестых степеней \(2a\) и \(b\): все знаки плюсы, слагаемых шесть.
\[\begin{aligned} &(2a)^6 - b^6 = (2a - b)((2a)^5 + (2a)^4 b + (2a)^3 b^2 + (2a)^2 b^3 + 2a \cdot b^4 + b^5) = {} \\ &= (2a - b)(32a^5 + 16a^4b + 8a^3b^2 + 4a^2b^3 + 2ab^4 + b^5). \end{aligned}\]
Ответ: а) \(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16\); б) \(32a^5 + 16a^4b + 8a^3b^2 + 4a^2b^3 + 2ab^4 + b^5\).
Восстановите разложение на множители: а) \(x^5 + 32 = (x + 2) \cdot \_\_\_\_\_\_\_\); б) \(64a^6 - b^6 = (2a - b) \cdot \_\_\_\_\_\_\_\).
а) Число 32 — это \(2^5\), поэтому двучлен является суммой пятых степеней: \(x^5 + 32 = x^5 + 2^5\).
Показатель 5 нечётный, значит, применима формула суммы нечётных степеней. Подставим в неё \(x\) и 2: во втором множителе степени \(x\) убывают, степени числа 2 возрастают, а знаки чередуются.
\[\begin{aligned} &x^5 + 2^5 = (x + 2)(x^4 - x^3 \cdot 2 + x^2 \cdot 2^2 - x \cdot 2^3 + 2^4) = {} \\ &= (x + 2)(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16). \end{aligned}\]
Во втором множителе пять слагаемых — столько же, каков показатель степени.
б) Одночлен \(64a^6\) — это \((2a)^6\), поэтому двучлен является разностью шестых степеней выражений \(2a\) и \(b\): \(64a^6 - b^6 = (2a)^6 - b^6\).
Подставим в формулу разности шестых степеней \(2a\) и \(b\); во втором множителе все знаки — плюсы.
\[\begin{aligned} &(2a)^6 - b^6 = (2a - b)((2a)^5 + (2a)^4 b + (2a)^3 b^2 + (2a)^2 b^3 + 2a \cdot b^4 + b^5) = {} \\ &= (2a - b)(32a^5 + 16a^4b + 8a^3b^2 + 4a^2b^3 + 2ab^4 + b^5). \end{aligned}\]
Во втором множителе шесть слагаемых — столько же, каков показатель степени.
Ответ: а) \(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16\); б) \(32a^5 + 16a^4b + 8a^3b^2 + 4a^2b^3 + 2ab^4 + b^5\).
