Страница 140 номер 786, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Утром, когда двери на вход только открылись, зал перед эскалаторами был пуст и людей на платформу доставлял только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с отправкой пассажиров, так что за 3 минуты зал наполовину заполнился. Тогда включили второй эскалатор, но число людей в зале продолжило увеличиваться, и ещё через 9 минут зал заполнился целиком. Через сколько минут зал опустеет, если включить третий эскалатор?
Дано:
люди заходят в зал равномерно
вначале зал пуст
1 эскалатор, 3 мин — зал заполнился наполовину
2 эскалатора, ещё 9 мин — зал заполнился целиком
Найти: время, за которое полный зал опустеет при трёх эскалаторах.
Решение:
За группу примем число пассажиров, которых один эскалатор увозит за минуту. Пусть за минуту в зал заходит \(x\) групп.
За 3 мин зашло \(3x\) групп, один эскалатор увёз 3 группы: \(3x - 3\) групп — половина зала.
За следующие 9 мин зашло \(9x\) групп, два эскалатора увезли \(2 \cdot 9 = 18\) (групп): \(9x - 18\) групп — вторая половина зала.
Половины зала одинаковы:
\[\begin{aligned} 3x - 3 &= 9x - 18; \\ 3x - 9x &= -18 + 3; \\ -6x &= -15; \\ x &= -15 : (-6); \\ x &= 2{,}5. \end{aligned}\]
\(3 \cdot 2{,}5 - 3 = 7{,}5 - 3 = 4{,}5\) (группы) — половина зала.
\(4{,}5 \cdot 2 = 9\) (групп) — весь зал.
\(3 - 2{,}5 = 0{,}5\) (группы) — убыль за минуту при трёх эскалаторах.
\(9 : 0{,}5 = 90 : 5 = 18\) (мин) — за столько опустеет полный зал.
Проверка: за 18 минут в зал зайдёт \(2{,}5 \cdot 18 = 45\) (групп), а три эскалатора увезут \(3 \cdot 18 = 54\) (группы); разность \(54 - 45 = 9\) (групп) — ровно столько людей было в полном зале.
Ответ: через 18 минут.
Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Утром, когда двери на вход только открылись, зал перед эскалаторами был пуст и людей на платформу доставлял только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с отправкой пассажиров, так что за 3 минуты зал наполовину заполнился. Тогда включили второй эскалатор, но число людей в зале продолжило увеличиваться, и ещё через 9 минут зал заполнился целиком. Через сколько минут зал опустеет, если включить третий эскалатор?
Дано:
люди заходят в зал равномерно
вначале зал пуст
1 эскалатор, 3 мин — зал заполнился наполовину
2 эскалатора, ещё 9 мин — зал заполнился целиком
Найти: время, за которое полный зал опустеет при трёх эскалаторах.
Решение:
За каждую минуту в зал заходит одно и то же число людей, и каждый эскалатор увозит за минуту одно и то же число пассажиров. Будем считать людей группами: за группу примем число пассажиров, которых один эскалатор увозит за минуту.
Пусть за минуту в зал заходит \(x\) таких групп.
За первые 3 минуты в зал зашло \(3x\) групп, а работавший тогда единственный эскалатор увёз 3 группы. В зале осталось \(3x - 3\) групп — это половина зала.
За следующие 9 минут в зал зашло \(9x\) групп, а два эскалатора увезли \(2 \cdot 9 = 18\) (групп). Число людей в зале выросло на \(9x - 18\) групп — это вторая половина зала.
Обе половины зала одинаковы. Составим уравнение и решим его:
\[\begin{aligned} 3x - 3 &= 9x - 18; \\ 3x - 9x &= -18 + 3; \\ -6x &= -15; \\ x &= -15 : (-6); \\ x &= 2{,}5. \end{aligned}\]
За минуту в зал заходит \(2{,}5\) группы — это больше, чем увозят за минуту два эскалатора, поэтому число людей в зале и продолжало расти.
Половина зала вмещает \(3 \cdot 2{,}5 - 3 = 7{,}5 - 3 = 4{,}5\) (группы), а весь зал — \(4{,}5 \cdot 2 = 9\) (групп).
Три эскалатора увозят за минуту 3 группы, а заходит за минуту \(2{,}5\) группы, поэтому число людей в зале уменьшается на \(3 - 2{,}5 = 0{,}5\) (группы) за минуту.
Полный зал опустеет за \(9 : 0{,}5 = 90 : 5 = 18\) (мин) — делимое и делитель умножены на 10, от этого частное не изменилось.
Проверка: за 18 минут в зал зайдёт \(2{,}5 \cdot 18 = 45\) (групп), а три эскалатора увезут \(3 \cdot 18 = 54\) (группы); разность \(54 - 45 = 9\) (групп) — ровно столько людей было в полном зале.
Ответ: через 18 минут.
