Страница 140 номер 784, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Подберите одночлены \(A\) и \(B\) с положительными коэффициентами так, чтобы равенство стало тождеством: \((A + B) \cdot \left(a^6b^2 - \frac{1}{3}a^3bc^4 + \frac{1}{9}c^8\right) = A^3 + B^3\).
Слева первый множитель — \(A + B\), значит, второй обязан быть неполным квадратом разности:
\[A^2 - AB + B^2 = a^6b^2 - \frac{1}{3}a^3bc^4 + \frac{1}{9}c^8.\]
\(A^2 = a^6b^2\), откуда \(A = a^3b\) с положительным коэффициентом: \((a^3b)^2 = a^6b^2\).
\(B^2 = \frac{1}{9}c^8\), откуда \(B = \frac{1}{3}c^4\), ведь \(\left(\frac{1}{3}c^4\right)^2 = \frac{1}{9}c^8\).
\(a^3b \cdot \frac{1}{3}c^4 = \frac{1}{3}a^3bc^4\), а в скобках как раз \(-\frac{1}{3}a^3bc^4\) — одночлены подобраны верно:
\[\begin{aligned} &\left(a^3b + \frac{1}{3}c^4\right)\left(a^6b^2 - \frac{1}{3}a^3bc^4 + \frac{1}{9}c^8\right) = {} \\ &= (a^3b)^3 + \left(\frac{1}{3}c^4\right)^3 = a^9b^3 + \frac{1}{27}c^{12}. \end{aligned}\]
Ответ: \(A = a^3b\), \(B = \frac{1}{3}c^4\).
Подберите одночлены \(A\) и \(B\) с положительными коэффициентами так, чтобы равенство стало тождеством: \((A + B) \cdot \left(a^6b^2 - \frac{1}{3}a^3bc^4 + \frac{1}{9}c^8\right) = A^3 + B^3\).
В правой части равенства стоит сумма кубов одночленов \(A\) и \(B\), а по формуле суммы кубов \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)\). Первый множитель левой части — это как раз \(A + B\), поэтому второй множитель обязан быть неполным квадратом разности \(A\) и \(B\):
\[A^2 - AB + B^2 = a^6b^2 - \frac{1}{3}a^3bc^4 + \frac{1}{9}c^8.\]
Первый член: \(A^2 = a^6b^2\). Одночлен с положительным коэффициентом, квадрат которого равен \(a^6b^2\), — это \(A = a^3b\), ведь \((a^3b)^2 = a^6b^2\).
Последний член: \(B^2 = \frac{1}{9}c^8\). Одночлен с положительным коэффициентом, квадрат которого равен \(\frac{1}{9}c^8\), — это \(B = \frac{1}{3}c^4\), ведь \(\left(\frac{1}{3}c^4\right)^2 = \frac{1}{9}c^8\).
Средний член должен быть произведением найденных одночленов, взятым со знаком минус: \(a^3b \cdot \frac{1}{3}c^4 = \frac{1}{3}a^3bc^4\), и в скобках действительно стоит \(-\frac{1}{3}a^3bc^4\). Значит, одночлены подобраны верно и равенство стало формулой суммы кубов:
\[\begin{aligned} &\left(a^3b + \frac{1}{3}c^4\right)\left(a^6b^2 - \frac{1}{3}a^3bc^4 + \frac{1}{9}c^8\right) = {} \\ &= (a^3b)^3 + \left(\frac{1}{3}c^4\right)^3 = a^9b^3 + \frac{1}{27}c^{12}. \end{aligned}\]
Ответ: \(A = a^3b\), \(B = \frac{1}{3}c^4\).
