Страница 139 номер 783, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида:
а) \((k + 4)(k^2 - 4k + 16)\); б) \((a^2 - ab + b^2)(a + b)\); в) \((4ab^2 + 3c^7)(16a^2b^4 - 12ab^2c^7 + 9c^{14})\).
а) \(4k = k \cdot 4\) и \(16 = 4^2\) — это сумма кубов \(k\) и 4:
\[(k + 4)(k^2 - 4k + 16) = k^3 + 4^3 = k^3 + 64.\]
б) \((a^2 - ab + b^2)(a + b) = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\) — сумма кубов \(a\) и \(b\).
в) \((4ab^2)^2 = 16a^2b^4\), \(4ab^2 \cdot 3c^7 = 12ab^2c^7\), \((3c^7)^2 = 9c^{14}\) — второй множитель неполный квадрат разности \(4ab^2\) и \(3c^7\):
\[\begin{aligned} &(4ab^2 + 3c^7)(16a^2b^4 - 12ab^2c^7 + 9c^{14}) = (4ab^2)^3 + (3c^7)^3 = {} \\ &= 64a^3b^6 + 27c^{21}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(k^3 + 64\); б) \(a^3 + b^3\); в) \(64a^3b^6 + 27c^{21}\).
Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида:
а) \((k + 4)(k^2 - 4k + 16)\); б) \((a^2 - ab + b^2)(a + b)\); в) \((4ab^2 + 3c^7)(16a^2b^4 - 12ab^2c^7 + 9c^{14})\).
а) Выражение имеет вид \((a + b)(a^2 - ab + b^2)\), где на месте первого выражения стоит \(k\), а на месте второго — число 4: действительно, \(4k = k \cdot 4\) и \(16 = 4^2\). Значит, это произведение суммы и неполного квадрата разности, то есть сумма кубов:
\[(k + 4)(k^2 - 4k + 16) = k^3 + 4^3 = k^3 + 64.\]
б) От перестановки множителей произведение не меняется, поэтому запишем выражение как \((a + b)(a^2 - ab + b^2)\). Это правая часть формулы суммы кубов выражений \(a\) и \(b\):
\[(a^2 - ab + b^2)(a + b) = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3.\]
в) Первый множитель — сумма одночленов \(4ab^2\) и \(3c^7\), а второй множитель — неполный квадрат их разности: \((4ab^2)^2 = 16a^2b^4\), \(4ab^2 \cdot 3c^7 = 12ab^2c^7\), \((3c^7)^2 = 9c^{14}\). По формуле суммы кубов:
\[\begin{aligned} &(4ab^2 + 3c^7)(16a^2b^4 - 12ab^2c^7 + 9c^{14}) = (4ab^2)^3 + (3c^7)^3 = {} \\ &= 64a^3b^6 + 27c^{21}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(k^3 + 64\); б) \(a^3 + b^3\); в) \(64a^3b^6 + 27c^{21}\).
