Страница 139 номер 782, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Представьте выражение в виде произведения двух многочленов ненулевой степени с целыми коэффициентами: а) \(27a^3 - b^3\); б) \(a^9p^{15} + 343b^6c^{12}\).
а) \(27a^3 = (3a)^3\) — это разность кубов \(3a\) и \(b\):
\[27a^3 - b^3 = (3a)^3 - b^3 = (3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2).\]
б) \(a^9p^{15} = (a^3p^5)^3\) и \(343b^6c^{12} = (7b^2c^4)^3\), так как \(7^3 = 343\), — это сумма кубов:
\[\begin{aligned} &a^9p^{15} + 343b^6c^{12} = (a^3p^5)^3 + (7b^2c^4)^3 = {} \\ &= (a^3p^5 + 7b^2c^4)(a^6p^{10} - 7a^3b^2c^4p^5 + 49b^4c^8). \end{aligned}\]
Ответ: а) \((3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)\); б) \((a^3p^5 + 7b^2c^4)(a^6p^{10} - 7a^3b^2c^4p^5 + 49b^4c^8)\).
Представьте выражение в виде произведения двух многочленов ненулевой степени с целыми коэффициентами: а) \(27a^3 - b^3\); б) \(a^9p^{15} + 343b^6c^{12}\).
а) Первое слагаемое — куб одночлена: \(27a^3 = (3a)^3\). Значит, двучлен является разностью кубов выражений \(3a\) и \(b\).
Квадрат первого выражения равен \((3a)^2 = 9a^2\), квадрат второго равен \(b^2\), а их произведение равно \(3a \cdot b = 3ab\). По формуле разности кубов:
\[27a^3 - b^3 = (3a)^3 - b^3 = (3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2).\]
б) Оба слагаемых являются кубами одночленов: \(a^9p^{15} = (a^3p^5)^3\), так как при возведении степени в степень показатели перемножаются (\(3 \cdot 3 = 9\) и \(5 \cdot 3 = 15\)), и \(343b^6c^{12} = (7b^2c^4)^3\), так как \(7^3 = 343\).
Квадрат первого выражения равен \((a^3p^5)^2 = a^6p^{10}\), квадрат второго — \((7b^2c^4)^2 = 49b^4c^8\), а их произведение равно \(a^3p^5 \cdot 7b^2c^4 = 7a^3b^2c^4p^5\). По формуле суммы кубов:
\[\begin{aligned} &a^9p^{15} + 343b^6c^{12} = (a^3p^5)^3 + (7b^2c^4)^3 = {} \\ &= (a^3p^5 + 7b^2c^4)(a^6p^{10} - 7a^3b^2c^4p^5 + 49b^4c^8). \end{aligned}\]
Оба множителя — многочлены ненулевой степени с целыми коэффициентами, как и требовалось.
Ответ: а) \((3a - b)(9a^2 + 3ab + b^2)\); б) \((a^3p^5 + 7b^2c^4)(a^6p^{10} - 7a^3b^2c^4p^5 + 49b^4c^8)\).
