Страница 139 номер 781, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Подберите одночлены \(A\), \(B\) и \(C\) так, чтобы равенство стало тождеством: \(125a^3 + A = (5a + B)(25a^2 - 15abc + C)\).
Первый множитель справа — сумма, значит, равенство должно стать формулой суммы кубов, где первое выражение \(5a\): его квадрат \((5a)^2 = 25a^2\) уже записан.
\(5a \cdot B = 15abc\), откуда \(B = 15abc : (5a) = 3bc\) — средний член равен произведению выражений со знаком минус.
\(C = (3bc)^2 = 9b^2c^2\) — квадрат второго выражения.
\((5a)^3 + (3bc)^3 = 125a^3 + 27b^3c^3\), поэтому \(A = 27b^3c^3\).
\[(5a + 3bc)(25a^2 - 15abc + 9b^2c^2) = (5a)^3 + (3bc)^3 = 125a^3 + 27b^3c^3.\]
Ответ: \(A = 27b^3c^3\), \(B = 3bc\), \(C = 9b^2c^2\).
Подберите одночлены \(A\), \(B\) и \(C\) так, чтобы равенство стало тождеством: \(125a^3 + A = (5a + B)(25a^2 - 15abc + C)\).
В правой части равенства первый множитель — сумма, а в левой части стоит сумма двух одночленов, поэтому равенство должно стать формулой суммы кубов \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\), где на месте первого выражения стоит \(5a\), а на месте второго — одночлен \(B\).
Первый член второго множителя — квадрат первого выражения: \((5a)^2 = 25a^2\), и такой член в равенстве уже записан.
Средний член второго множителя равен произведению выражений, взятому со знаком минус, поэтому \(5a \cdot B = 15abc\), откуда \(B = 15abc : (5a) = 3bc\).
Последний член второго множителя — квадрат второго выражения: \(C = (3bc)^2 = 9b^2c^2\).
Произведение в правой части равно сумме кубов выражений \(5a\) и \(3bc\), то есть \((5a)^3 + (3bc)^3 = 125a^3 + 27b^3c^3\). В левой части перед одночленом \(A\) стоит \(125a^3\), значит, \(A = 27b^3c^3\).
Подставим найденные одночлены в равенство:
\[(5a + 3bc)(25a^2 - 15abc + 9b^2c^2) = (5a)^3 + (3bc)^3 = 125a^3 + 27b^3c^3.\]
Левая часть равенства при \(A = 27b^3c^3\) равна \(125a^3 + 27b^3c^3\) — получилось то же самое выражение, значит, равенство стало тождеством.
Ответ: \(A = 27b^3c^3\), \(B = 3bc\), \(C = 9b^2c^2\).
