Страница 132 номер 734, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Для каждого многочлена укажите одночлен, который нужно прибавить к этому многочлену, чтобы полученное выражение стало квадратом некоторого двучлена с целыми коэффициентами.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Многочлены} & 16x^2 + 10xy + y^2 & 9x^2 + 8xy + 4y^2 & 10x^2 + 10xy + 25y^2 \\ \hline \text{Одночлены} & -9x^2 & 4xy & -2xy \\ \hline \end{array}\]
1) \(16x^2 = (4x)^2\) и \(y^2\) — квадраты, их удвоенное произведение \(2 \cdot 4x \cdot y = 8xy\), а стоит \(10xy\): прибавить нужно \(8xy - 10xy = -2xy\).
\[16x^2 + 10xy + y^2 - 2xy = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot y + y^2 = (4x + y)^2.\]
2) \(9x^2 = (3x)^2\) и \(4y^2 = (2y)^2\), их удвоенное произведение \(2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy\), а стоит \(8xy\): прибавить нужно \(12xy - 8xy = 4xy\).
\[9x^2 + 8xy + 4y^2 + 4xy = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = (3x + 2y)^2.\]
3) Квадрат только у \(25y^2 = (5y)^2\), а 10 квадратом целого числа не является. \(10xy = 2 \cdot 5y \cdot x\) — первый член двучлена равен \(x\), поэтому первый член многочлена должен быть \(x^2\): прибавить нужно \(x^2 - 10x^2 = -9x^2\).
\[10x^2 + 10xy + 25y^2 - 9x^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5y + (5y)^2 = (x + 5y)^2.\]
Ответ: к многочлену \(16x^2 + 10xy + y^2\) нужно прибавить одночлен \(-2xy\), к многочлену \(9x^2 + 8xy + 4y^2\) — одночлен \(4xy\), к многочлену \(10x^2 + 10xy + 25y^2\) — одночлен \(-9x^2\).
Для каждого многочлена укажите одночлен, который нужно прибавить к этому многочлену, чтобы полученное выражение стало квадратом некоторого двучлена с целыми коэффициентами.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Многочлены} & 16x^2 + 10xy + y^2 & 9x^2 + 8xy + 4y^2 & 10x^2 + 10xy + 25y^2 \\ \hline \text{Одночлены} & -9x^2 & 4xy & -2xy \\ \hline \end{array}\]
В условии даны три многочлена и три одночлена:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Многочлены} & 16x^2 + 10xy + y^2 & 9x^2 + 8xy + 4y^2 & 10x^2 + 10xy + 25y^2 \\ \hline \text{Одночлены} & -9x^2 & 4xy & -2xy \\ \hline \end{array}\]
Многочлен является квадратом двучлена, если два его члена — квадраты одночленов, а третий член равен их удвоенному произведению.
1) \(16x^2 + 10xy + y^2\). Квадраты — это члены \(16x^2 = (4x)^2\) и \(y^2\), а их удвоенное произведение равно \(2 \cdot 4x \cdot y = 8xy\). В многочлене вместо \(8xy\) стоит \(10xy\), поэтому прибавить нужно одночлен \(8xy - 10xy = -2xy\):
\[16x^2 + 10xy + y^2 - 2xy = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot y + y^2 = (4x + y)^2.\]
2) \(9x^2 + 8xy + 4y^2\). Квадраты — это члены \(9x^2 = (3x)^2\) и \(4y^2 = (2y)^2\), а их удвоенное произведение равно \(2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy\). В многочлене вместо \(12xy\) стоит \(8xy\), поэтому прибавить нужно одночлен \(12xy - 8xy = 4xy\):
\[9x^2 + 8xy + 4y^2 + 4xy = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = (3x + 2y)^2.\]
3) \(10x^2 + 10xy + 25y^2\). Квадратом является только член \(25y^2 = (5y)^2\): число 10 квадратом целого числа не является. Член \(10xy\) — удвоенное произведение одночлена \(5y\) и первого члена двучлена: \(10xy = 2 \cdot 5y \cdot x\), значит, первый член двучлена равен \(x\), а первый член многочлена должен быть равен \(x^2\). Прибавить нужно одночлен \(x^2 - 10x^2 = -9x^2\):
\[10x^2 + 10xy + 25y^2 - 9x^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5y + (5y)^2 = (x + 5y)^2.\]
Каждый из данных одночленов подошёл ровно к одному многочлену:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Многочлен} & 16x^2 + 10xy + y^2 & 9x^2 + 8xy + 4y^2 & 10x^2 + 10xy + 25y^2 \\ \hline \text{Одночлен} & -2xy & 4xy & -9x^2 \\ \hline \end{array}\]
Ответ: к многочлену \(16x^2 + 10xy + y^2\) нужно прибавить одночлен \(-2xy\), к многочлену \(9x^2 + 8xy + 4y^2\) — одночлен \(4xy\), к многочлену \(10x^2 + 10xy + 25y^2\) — одночлен \(-9x^2\).
