Страница 132 номер 731, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Какой одночлен нужно дописать, чтобы полученный многочлен можно было представить в виде квадрата двучлена с целыми коэффициентами:
а) \(x^2 + 3xy + 9y^2 + \_\_\_\); б) \(3x^2 + 40xy + 16y^2 + \_\_\_\)?
а) \(x^2\) и \(9y^2 = (3y)^2\) — квадраты, их удвоенное произведение \(6xy\), а стоит \(3xy\): дописать нужно \(3xy\).
\[x^2 + 3xy + 9y^2 + 3xy = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = (x + 3y)^2.\]
Подходит и \(-9xy\): \(x^2 + 3xy + 9y^2 - 9xy = x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2\).
б) Квадрат только у \(16y^2 = (4y)^2\), а 3 — не квадрат целого числа: дописывается одночлен с \(x^2\).
\(40xy = 2 \cdot 4y \cdot 5x\) — первый член двучлена \(5x\), первый член многочлена должен быть \((5x)^2 = 25x^2\): дописать нужно \(25x^2 - 3x^2 = 22x^2\).
\[3x^2 + 40xy + 16y^2 + 22x^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 4y + (4y)^2 = (5x + 4y)^2.\]
Ответ: а) \(3xy\) (подходит и \(-9xy\)); б) \(22x^2\).
Какой одночлен нужно дописать, чтобы полученный многочлен можно было представить в виде квадрата двучлена с целыми коэффициентами:
а) \(x^2 + 3xy + 9y^2 + \_\_\_\); б) \(3x^2 + 40xy + 16y^2 + \_\_\_\)?
а) Квадратами одночленов являются первое и третье слагаемые: \(x^2\) — квадрат одночлена \(x\), а \(9y^2 = (3y)^2\) — квадрат одночлена \(3y\). Их удвоенное произведение равно \(2 \cdot x \cdot 3y = 6xy\), а в многочлене стоит \(3xy\). Чтобы вместо \(3xy\) получилось \(6xy\), дописать нужно одночлен \(3xy\):
\[x^2 + 3xy + 9y^2 + 3xy = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = (x + 3y)^2.\]
Подходит и одночлен \(-9xy\): тогда \(x^2 + 3xy + 9y^2 - 9xy = x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2\).
б) Квадратом одночлена является только последнее слагаемое: \(16y^2 = (4y)^2\), а число 3 квадратом целого числа не является. Значит, дописывать нужно одночлен с \(x^2\).
Член \(40xy\) — удвоенное произведение одночлена \(4y\) и первого члена двучлена: \(40xy = 2 \cdot 4y \cdot 5x\), значит, первый член двучлена равен \(5x\), а первый член многочлена должен быть равен \((5x)^2 = 25x^2\). Дописать нужно одночлен \(25x^2 - 3x^2 = 22x^2\):
\[3x^2 + 40xy + 16y^2 + 22x^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 4y + (4y)^2 = (5x + 4y)^2.\]
Ответ: а) \(3xy\) (подходит и \(-9xy\)); б) \(22x^2\).
