Страница 132 номер 729, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Какое выражение нужно дописать, чтобы полученный трёхчлен можно было представить в виде квадрата некоторого двучлена:
а) \(x^2 + 8x + \_\_\_\); б) \(4x^2 - 24x + \_\_\_\); в) \(9a^2 + 25b^2 - \_\_\_\)?
а) \(8x = 2 \cdot x \cdot 4\) — удвоенное произведение \(x\) и 4, значит, второе выражение двучлена равно 4.
Дописать нужно \(4^2 = 16\).
\[x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2.\]
б) \(24x = 2 \cdot 2x \cdot 6\) — удвоенное произведение \(2x\) и 6, значит, второе выражение двучлена равно 6.
Дописать нужно \(6^2 = 36\).
\[4x^2 - 24x + 36 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 6 + 6^2 = (2x - 6)^2.\]
в) \(9a^2 = (3a)^2\) и \(25b^2 = (5b)^2\), не хватает их удвоенного произведения \(2 \cdot 3a \cdot 5b = 30ab\).
\[9a^2 + 25b^2 - 30ab = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 5b + (5b)^2 = (3a - 5b)^2.\]
Ответ: а) 16; б) 36; в) \(30ab\).
Какое выражение нужно дописать, чтобы полученный трёхчлен можно было представить в виде квадрата некоторого двучлена:
а) \(x^2 + 8x + \_\_\_\); б) \(4x^2 - 24x + \_\_\_\); в) \(9a^2 + 25b^2 - \_\_\_\)?
а) Слагаемое \(x^2\) — квадрат выражения \(x\). Чтобы трёхчлен стал квадратом двучлена, слагаемое \(8x\) должно быть удвоенным произведением \(x\) и второго выражения двучлена: \(8x = 2 \cdot x \cdot 4\), значит, второе выражение равно 4. Дописать нужно его квадрат \(4^2 = 16\):
\[x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2.\]
б) Слагаемое \(4x^2\) — квадрат одночлена \(2x\). Слагаемое \(24x\) должно быть удвоенным произведением \(2x\) и второго выражения двучлена: \(24x = 2 \cdot 2x \cdot 6\), значит, второе выражение равно 6. Дописать нужно его квадрат \(6^2 = 36\):
\[4x^2 - 24x + 36 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 6 + 6^2 = (2x - 6)^2.\]
в) Слагаемые \(9a^2\) и \(25b^2\) — квадраты одночленов \(3a\) и \(5b\), а не хватает их удвоенного произведения \(2 \cdot 3a \cdot 5b = 30ab\). Перед пропуском стоит знак минус, поэтому получится квадрат разности:
\[9a^2 + 25b^2 - 30ab = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 5b + (5b)^2 = (3a - 5b)^2.\]
Ответ: а) 16; б) 36; в) \(30ab\).
