Страница 132 номер 724, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Квадратом какого двучлена является многочлен: а) \(x^2 + 4x + 4\); б) \(y^2 + 16z^2 - 8yz\); в) \(y^2 + 6y^4 + 9y^6\)?
а)
\[x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x + 2)^2.\]
б)
\[y^2 + 16z^2 - 8yz = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4z + (4z)^2 = (y - 4z)^2.\]
в) \(9y^6 = (3y^3)^2\), а \(6y^4\) квадратом одночлена не является: 6 не квадрат натурального числа.
\(2 \cdot y \cdot 3y^3 = 6y^4\) — удвоенное произведение \(y\) и \(3y^3\).
\[y^2 + 6y^4 + 9y^6 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3y^3 + (3y^3)^2 = (y + 3y^3)^2.\]
Ответ: а) \((x + 2)^2\); б) \((y - 4z)^2\); в) \((y + 3y^3)^2\).
Квадратом какого двучлена является многочлен: а) \(x^2 + 4x + 4\); б) \(y^2 + 16z^2 - 8yz\); в) \(y^2 + 6y^4 + 9y^6\)?
а) Слагаемые \(x^2\) и 4 — квадраты выражений \(x\) и 2, а слагаемое \(4x\) — их удвоенное произведение: \(2 \cdot x \cdot 2 = 4x\). Значит,
\[x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x + 2)^2.\]
б) Слагаемые \(y^2\) и \(16z^2\) — квадраты выражений \(y\) и \(4z\), а слагаемое \(8yz\) — их удвоенное произведение: \(2 \cdot y \cdot 4z = 8yz\). Перед ним стоит знак минус, поэтому это квадрат разности:
\[y^2 + 16z^2 - 8yz = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4z + (4z)^2 = (y - 4z)^2.\]
в) Квадратами одночленов являются слагаемые \(y^2\) и \(9y^6 = (3y^3)^2\); слагаемое \(6y^4\) квадратом одночлена не является, потому что число 6 не является квадратом натурального числа.
Проверим, что \(6y^4\) — удвоенное произведение одночленов \(y\) и \(3y^3\): \(2 \cdot y \cdot 3y^3 = 6y^4\). Значит,
\[y^2 + 6y^4 + 9y^6 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3y^3 + (3y^3)^2 = (y + 3y^3)^2.\]
Ответ: а) \((x + 2)^2\); б) \((y - 4z)^2\); в) \((y + 3y^3)^2\).
