Страница 115 номер 639, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен на множители, группируя слагаемые по три:
а) \(a^2b - ab^2 - 2ab - a + b + 2\); б) \(xy^2 - xy - x - y^3 + y^2 + y\).
а) Во второй группе вынесем за скобки множитель \(-1\) — знаки в ней поменяются на противоположные, а на месте второго слагаемого в скобках останется единица:
\[\begin{aligned} &a^2b - ab^2 - 2ab - a + b + 2 = (a^2b - ab^2 - 2ab) - (a - b - 2) = {} \\ &= ab(a - b - 2) - (a - b - 2) = (a - b - 2)(ab - 1). \end{aligned}\]
б) Во второй группе снова вынесем за скобки множитель \(-1\):
\[\begin{aligned} &xy^2 - xy - x - y^3 + y^2 + y = (xy^2 - xy - x) - (y^3 - y^2 - y) = {} \\ &= x(y^2 - y - 1) - y(y^2 - y - 1) = (y^2 - y - 1)(x - y). \end{aligned}\]
Ответ: а) \((a - b - 2)(ab - 1)\); б) \((y^2 - y - 1)(x - y)\).
Разложите многочлен на множители, группируя слагаемые по три:
а) \(a^2b - ab^2 - 2ab - a + b + 2\); б) \(xy^2 - xy - x - y^3 + y^2 + y\).
а) В первую группу возьмём три слагаемых с множителем \(ab\), во вторую — три оставшихся. Во второй группе вынесем за скобки множитель \(-1\), тогда все знаки в ней поменяются на противоположные:
\[a^2b - ab^2 - 2ab - a + b + 2 = (a^2b - ab^2 - 2ab) - (a - b - 2).\]
В первой группе общий множитель — \(ab\):
\[(a^2b - ab^2 - 2ab) - (a - b - 2) = ab(a - b - 2) - (a - b - 2).\]
У обоих слагаемых общий множитель \(a - b - 2\); второе слагаемое выносится за скобки полностью, поэтому на его месте в скобках пишется единица:
\[ab(a - b - 2) - (a - b - 2) = (a - b - 2)(ab - 1).\]
б) В первую группу возьмём три слагаемых с множителем \(x\), во вторую — три оставшихся. Во второй группе вынесем за скобки множитель \(-1\):
\[xy^2 - xy - x - y^3 + y^2 + y = (xy^2 - xy - x) - (y^3 - y^2 - y).\]
В первой группе общий множитель — \(x\), во второй — \(y\). После этого в обеих скобках остался один и тот же трёхчлен \(y^2 - y - 1\), вынесем его за скобки:
\[(xy^2 - xy - x) - (y^3 - y^2 - y) = x(y^2 - y - 1) - y(y^2 - y - 1) = (y^2 - y - 1)(x - y).\]
Ответ: а) \((a - b - 2)(ab - 1)\); б) \((y^2 - y - 1)(x - y)\).
