Страница 115 номер 634, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен на множители:
а) \(xy - 6x + 2y - 12\); б) \(x^4 - 4x - 8 + 2x^3\); в) \(bx + by - ax - ay + x + y\).
а)
\[xy - 6x + 2y - 12 = (xy - 6x) + (2y - 12) = x(y - 6) + 2(y - 6) = (y - 6)(x + 2).\]
б) Вычесть сумму \(4x + 8\) — значит вычесть каждое её слагаемое:
\[\begin{aligned} &x^4 - 4x - 8 + 2x^3 = x^4 + 2x^3 - 4x - 8 = (x^4 + 2x^3) - (4x + 8) = {} \\ &= x^3(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x^3 - 4). \end{aligned}\]
в) Третье слагаемое выносится за скобки полностью, поэтому на его месте в скобках пишется единица:
\[\begin{aligned} &bx + by - ax - ay + x + y = (bx + by) - (ax + ay) + (x + y) = {} \\ &= b(x + y) - a(x + y) + (x + y) = (x + y)(b - a + 1). \end{aligned}\]
Ответ: а) \((y - 6)(x + 2)\); б) \((x + 2)(x^3 - 4)\); в) \((x + y)(b - a + 1)\).
Разложите многочлен на множители:
а) \(xy - 6x + 2y - 12\); б) \(x^4 - 4x - 8 + 2x^3\); в) \(bx + by - ax - ay + x + y\).
а) Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвёртым; в первой группе общий множитель — \(x\), во второй — число 2, а затем вынесем за скобки общий двучлен \(y - 6\):
\[xy - 6x + 2y - 12 = (xy - 6x) + (2y - 12) = x(y - 6) + 2(y - 6) = (y - 6)(x + 2).\]
б) Запишем многочлен по убыванию степеней и сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвёртым. Вычесть сумму \(4x + 8\) — значит вычесть каждое её слагаемое:
\[\begin{aligned} &x^4 - 4x - 8 + 2x^3 = x^4 + 2x^3 - 4x - 8 = (x^4 + 2x^3) - (4x + 8) = {} \\ &= x^3(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x^3 - 4). \end{aligned}\]
в) Шесть слагаемых разобьём на три группы по два и вынесем общий множитель в каждой группе:
\[bx + by - ax - ay + x + y = (bx + by) - (ax + ay) + (x + y) = b(x + y) - a(x + y) + (x + y).\]
У всех трёх слагаемых общий множитель \(x + y\); третье слагаемое выносится за скобки полностью, поэтому на его месте в скобках пишется единица:
\[b(x + y) - a(x + y) + (x + y) = (x + y)(b - a + 1).\]
Ответ: а) \((y - 6)(x + 2)\); б) \((x + 2)(x^3 - 4)\); в) \((x + y)(b - a + 1)\).
