Страница 109 номер 592, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните умножение и в ответе запишите многочлен в стандартном виде:
а) \((5 - p) \cdot (2p^2 + 3p + 1)\); б) \((a - 2b + 2c) \cdot (3a - b + c)\); в) \((a^6 - a^3 + 1) \cdot (a^6 + a^3 + 1)\); г) \((2x^2 - y^2 + 3xy) \cdot (x^2 + y^2 - 2xy + x)\).
а) \[\begin{aligned} &(5 - p) \cdot (2p^2 + 3p + 1) = 5 \cdot (2p^2 + 3p + 1) - p \cdot (2p^2 + 3p + 1) = {} \\ &= 10p^2 + 15p + 5 - 2p^3 - 3p^2 - p = -2p^3 + 7p^2 + 14p + 5. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &(a - 2b + 2c) \cdot (3a - b + c) = a \cdot (3a - b + c) - 2b \cdot (3a - b + c) + 2c \cdot (3a - b + c) = {} \\ &= 3a^2 - ab + ac - 6ab + 2b^2 - 2bc + 6ac - 2bc + 2c^2 = {} \\ &= 3a^2 - 7ab + 7ac + 2b^2 - 4bc + 2c^2. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} &(a^6 - a^3 + 1) \cdot (a^6 + a^3 + 1) = a^6 \cdot (a^6 + a^3 + 1) - a^3 \cdot (a^6 + a^3 + 1) + 1 \cdot (a^6 + a^3 + 1) = {} \\ &= a^{12} + a^9 + a^6 - a^9 - a^6 - a^3 + a^6 + a^3 + 1 = a^{12} + a^6 + 1. \end{aligned}\]
г) \[\begin{aligned} &(2x^2 - y^2 + 3xy) \cdot (x^2 + y^2 - 2xy + x) = {} \\ &= 2x^2 \cdot (x^2 + y^2 - 2xy + x) - y^2 \cdot (x^2 + y^2 - 2xy + x) + 3xy \cdot (x^2 + y^2 - 2xy + x) = {} \\ &= 2x^4 + 2x^2y^2 - 4x^3y + 2x^3 - x^2y^2 - y^4 + 2xy^3 - xy^2 + 3x^3y + 3xy^3 - 6x^2y^2 + 3x^2y = {} \\ &= 2x^4 - x^3y - 5x^2y^2 + 5xy^3 - y^4 + 2x^3 + 3x^2y - xy^2. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-2p^3 + 7p^2 + 14p + 5\); б) \(3a^2 - 7ab + 7ac + 2b^2 - 4bc + 2c^2\); в) \(a^{12} + a^6 + 1\); г) \(2x^4 - x^3y - 5x^2y^2 + 5xy^3 - y^4 + 2x^3 + 3x^2y - xy^2\).
Выполните умножение и в ответе запишите многочлен в стандартном виде:
а) \((5 - p) \cdot (2p^2 + 3p + 1)\); б) \((a - 2b + 2c) \cdot (3a - b + c)\); в) \((a^6 - a^3 + 1) \cdot (a^6 + a^3 + 1)\); г) \((2x^2 - y^2 + 3xy) \cdot (x^2 + y^2 - 2xy + x)\).
а) \[\begin{aligned} &(5 - p) \cdot (2p^2 + 3p + 1) = 5 \cdot (2p^2 + 3p + 1) - p \cdot (2p^2 + 3p + 1) = {} \\ &= 10p^2 + 15p + 5 - 2p^3 - 3p^2 - p = -2p^3 + 7p^2 + 14p + 5. \end{aligned}\]
б) Умножим каждый член трёхчлена \(a - 2b + 2c\) на трёхчлен \(3a - b + c\):
\[\begin{aligned} &(a - 2b + 2c) \cdot (3a - b + c) = a \cdot (3a - b + c) - 2b \cdot (3a - b + c) + 2c \cdot (3a - b + c) = {} \\ &= 3a^2 - ab + ac - 6ab + 2b^2 - 2bc + 6ac - 2bc + 2c^2 = {} \\ &= 3a^2 - 7ab + 7ac + 2b^2 - 4bc + 2c^2. \end{aligned}\]
Здесь приведены подобные слагаемые \(-ab\) и \(-6ab\), \(ac\) и \(6ac\), \(-2bc\) и \(-2bc\).
в) \[\begin{aligned} &(a^6 - a^3 + 1) \cdot (a^6 + a^3 + 1) = a^6 \cdot (a^6 + a^3 + 1) - a^3 \cdot (a^6 + a^3 + 1) + 1 \cdot (a^6 + a^3 + 1) = {} \\ &= a^{12} + a^9 + a^6 - a^9 - a^6 - a^3 + a^6 + a^3 + 1 = a^{12} + a^6 + 1. \end{aligned}\]
Слагаемые \(a^9\) и \(-a^9\) противоположны, как и \(-a^3\) и \(a^3\), а из трёх слагаемых с \(a^6\) остаётся одно.
г) \[\begin{aligned} &(2x^2 - y^2 + 3xy) \cdot (x^2 + y^2 - 2xy + x) = {} \\ &= 2x^2 \cdot (x^2 + y^2 - 2xy + x) - y^2 \cdot (x^2 + y^2 - 2xy + x) + 3xy \cdot (x^2 + y^2 - 2xy + x) = {} \\ &= 2x^4 + 2x^2y^2 - 4x^3y + 2x^3 - x^2y^2 - y^4 + 2xy^3 - xy^2 + 3x^3y + 3xy^3 - 6x^2y^2 + 3x^2y = {} \\ &= 2x^4 - x^3y - 5x^2y^2 + 5xy^3 - y^4 + 2x^3 + 3x^2y - xy^2. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(-2p^3 + 7p^2 + 14p + 5\); б) \(3a^2 - 7ab + 7ac + 2b^2 - 4bc + 2c^2\); в) \(a^{12} + a^6 + 1\); г) \(2x^4 - x^3y - 5x^2y^2 + 5xy^3 - y^4 + 2x^3 + 3x^2y - xy^2\).
