Страница 109 номер 587, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) \((2x + y) \cdot (5x^2 - xy + 3y^2)\); б) \((a - 2b) \cdot (a^2 + 2ab + 4b^2)\).
а) \[\begin{aligned} &(2x + y) \cdot (5x^2 - xy + 3y^2) = 2x \cdot (5x^2 - xy + 3y^2) + y \cdot (5x^2 - xy + 3y^2) = {} \\ &= 10x^3 - 2x^2y + 6xy^2 + 5x^2y - xy^2 + 3y^3 = 10x^3 + 3x^2y + 5xy^2 + 3y^3. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &(a - 2b) \cdot (a^2 + 2ab + 4b^2) = a \cdot (a^2 + 2ab + 4b^2) - 2b \cdot (a^2 + 2ab + 4b^2) = {} \\ &= a^3 + 2a^2b + 4ab^2 - 2a^2b - 4ab^2 - 8b^3 = a^3 - 8b^3. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(10x^3 + 3x^2y + 5xy^2 + 3y^3\); б) \(a^3 - 8b^3\).
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) \((2x + y) \cdot (5x^2 - xy + 3y^2)\); б) \((a - 2b) \cdot (a^2 + 2ab + 4b^2)\).
а) Умножим каждый член двучлена \(2x + y\) на трёхчлен \(5x^2 - xy + 3y^2\):
\[\begin{aligned} &(2x + y) \cdot (5x^2 - xy + 3y^2) = 2x \cdot (5x^2 - xy + 3y^2) + y \cdot (5x^2 - xy + 3y^2) = {} \\ &= 10x^3 - 2x^2y + 6xy^2 + 5x^2y - xy^2 + 3y^3 = 10x^3 + 3x^2y + 5xy^2 + 3y^3. \end{aligned}\]
Подобные слагаемые здесь \(-2x^2y\) и \(5x^2y\) (их сумма равна \(3x^2y\)), а также \(6xy^2\) и \(-xy^2\) (их сумма равна \(5xy^2\)).
б) \[\begin{aligned} &(a - 2b) \cdot (a^2 + 2ab + 4b^2) = a \cdot (a^2 + 2ab + 4b^2) - 2b \cdot (a^2 + 2ab + 4b^2) = {} \\ &= a^3 + 2a^2b + 4ab^2 - 2a^2b - 4ab^2 - 8b^3 = a^3 - 8b^3. \end{aligned}\]
Слагаемые \(2a^2b\) и \(-2a^2b\) противоположны, как и \(4ab^2\) и \(-4ab^2\), поэтому из шести членов остаётся только два.
Ответ: а) \(10x^3 + 3x^2y + 5xy^2 + 3y^3\); б) \(a^3 - 8b^3\).
