Страница 98 номер 539, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Учитель написал на доске произведение двух чисел в стандартном виде, заменив в примере некоторые цифры на буквы, и попросил учеников восстановить равенство:
\[(\overline{a{,}b} \cdot 10^{10}) \cdot (\overline{c{,}d} \cdot 10^{12}) \approx \overline{e{,}fg} \cdot 10^{\overline{hk}}.\]
Когда все справились с заданием, оказалось, что у всех получились разные примеры. Серёжа заметил, что только одну стёртую цифру в примере можно восстановить однозначно. Укажите, какой буквой эта цифра обозначена и чему она равна.
Множители записаны в стандартном виде: \(1 \leqslant \overline{a{,}b} < 10\) и \(1 \leqslant \overline{c{,}d} < 10\).
\[(\overline{a{,}b} \cdot 10^{10}) \cdot (\overline{c{,}d} \cdot 10^{12}) = (\overline{a{,}b} \cdot \overline{c{,}d}) \cdot 10^{22}.\]
Наименьшее произведение мантисс \(1 \cdot 1 = 1\), наибольшее \(9{,}9 \cdot 9{,}9 = 98{,}01\): оно не меньше 1 и меньше 100.
Если произведение мантисс меньше 10, то оно и есть мантисса, а порядок равен 22.
Если оно не меньше 10, то множитель 10 переходит от мантиссы к степени: мантисса попадает в \([1; 10)\), а порядок равен \(22 + 1 = 23\).
Значит, \(\overline{hk}\) равен 22 или 23, и у обоих чисел первая цифра 2, откуда \(h = 2\).
Остальные цифры не восстанавливаются однозначно:
\[(1{,}0 \cdot 10^{10}) \cdot (1{,}0 \cdot 10^{12}) = 1{,}00 \cdot 10^{22},\]
\[(3{,}1 \cdot 10^{10}) \cdot (2{,}7 \cdot 10^{12}) = 8{,}37 \cdot 10^{22},\]
\[(2{,}5 \cdot 10^{10}) \cdot (4{,}0 \cdot 10^{12}) = 1{,}00 \cdot 10^{23}.\]
В первых двух примерах цифры \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\), \(g\) различны, а \(k\) равно 2 в первом и 3 в третьем.
Ответ: однозначно восстанавливается цифра, обозначенная буквой \(h\); она равна 2.
Учитель написал на доске произведение двух чисел в стандартном виде, заменив в примере некоторые цифры на буквы, и попросил учеников восстановить равенство:
\[(\overline{a{,}b} \cdot 10^{10}) \cdot (\overline{c{,}d} \cdot 10^{12}) \approx \overline{e{,}fg} \cdot 10^{\overline{hk}}.\]
Когда все справились с заданием, оказалось, что у всех получились разные примеры. Серёжа заметил, что только одну стёртую цифру в примере можно восстановить однозначно. Укажите, какой буквой эта цифра обозначена и чему она равна.
Оба множителя записаны в стандартном виде, поэтому их мантиссы удовлетворяют неравенствам \(1 \leqslant \overline{a{,}b} < 10\) и \(1 \leqslant \overline{c{,}d} < 10\).
Перемножим числа: мантиссы перемножаются между собой, а показатели степеней 10 складываются.
\[(\overline{a{,}b} \cdot 10^{10}) \cdot (\overline{c{,}d} \cdot 10^{12}) = (\overline{a{,}b} \cdot \overline{c{,}d}) \cdot 10^{22}.\]
Оценим произведение мантисс: наименьшее его значение равно \(1 \cdot 1 = 1\), а наибольшее — \(9{,}9 \cdot 9{,}9 = 98{,}01\). Значит, произведение мантисс не меньше 1 и меньше 100.
Если произведение мантисс меньше 10, то оно и есть мантисса результата, а порядок равен 22.
Если произведение мантисс не меньше 10 (но меньше 100), то один множитель 10 переходит от мантиссы к степени: мантисса становится в 10 раз меньше и попадает в промежуток \([1; 10)\), а порядок равен \(22 + 1 = 23\).
Других случаев нет, поэтому порядок \(\overline{hk}\) равен 22 или 23. И у числа 22, и у числа 23 первая цифра равна 2, значит, цифра \(h\) восстанавливается однозначно: \(h = 2\).
Остальные цифры однозначно не восстанавливаются — например, у учеников могли получиться такие примеры:
\[(1{,}0 \cdot 10^{10}) \cdot (1{,}0 \cdot 10^{12}) = 1{,}00 \cdot 10^{22},\]
\[(3{,}1 \cdot 10^{10}) \cdot (2{,}7 \cdot 10^{12}) = 8{,}37 \cdot 10^{22},\]
\[(2{,}5 \cdot 10^{10}) \cdot (4{,}0 \cdot 10^{12}) = 1{,}00 \cdot 10^{23}.\]
В первом примере \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = 1\), \(d = 0\), \(e = 1\), \(f = 0\), \(g = 0\) и \(k = 2\), во втором каждая из этих цифр другая: \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = 2\), \(d = 7\), \(e = 8\), \(f = 3\), \(g = 7\), а в третьем примере \(k = 3\).
Ответ: однозначно восстанавливается цифра, обозначенная буквой \(h\); она равна 2.
