Страница 98 номер 536, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Одночлены \(A\) и \(B\) таковы, что \(A^7\) делится на \(B^7\) и \(B^4\) делится на \(A^4\). Чему равна степень частного \(A^5 : B^5\)?
Пусть переменная входит в \(A\) с показателем \(x\), а в \(B\) — с показателем \(y\); тогда в \(A^7\) она стоит с показателем \(7x\), в \(B^7\) — с показателем \(7y\), в \(A^4\) — с \(4x\), в \(B^4\) — с \(4y\).
\(A^7\) делится на \(B^7\), поэтому \(7x \geqslant 7y\), то есть \(x \geqslant y\).
\(B^4\) делится на \(A^4\), поэтому \(4y \geqslant 4x\), то есть \(y \geqslant x\).
Оба неравенства выполняются только при \(x = y\), и так для каждой переменной, значит, буквенные части \(A\) и \(B\) совпадают, а степени одночленов \(A^5\) и \(B^5\) равны.
Степень частного равна разности степеней делимого и делителя, поэтому степень \(A^5 : B^5\) равна 0: само частное — число, отношение пятых степеней коэффициентов \(A\) и \(B\), а степень не равного нулю числа равна 0.
Ответ: 0.
Одночлены \(A\) и \(B\) таковы, что \(A^7\) делится на \(B^7\) и \(B^4\) делится на \(A^4\). Чему равна степень частного \(A^5 : B^5\)?
Одночлен делится на одночлен, если показатель степени каждой переменной в делимом не меньше показателя этой переменной в делителе.
Пусть некоторая переменная входит в одночлен \(A\) с показателем \(x\), а в одночлен \(B\) — с показателем \(y\). При возведении одночлена в степень показатель каждой переменной умножается на показатель этой степени, поэтому в \(A^7\) эта переменная стоит с показателем \(7x\), в \(B^7\) — с показателем \(7y\), в \(A^4\) — с показателем \(4x\), а в \(B^4\) — с показателем \(4y\).
Одночлен \(A^7\) делится на \(B^7\), поэтому \(7x \geqslant 7y\), то есть \(x \geqslant y\). Одночлен \(B^4\) делится на \(A^4\), поэтому \(4y \geqslant 4x\), то есть \(y \geqslant x\). Оба неравенства выполняются только при \(x = y\).
Это верно для каждой переменной, значит, буквенные части одночленов \(A\) и \(B\) совпадают, а тогда равны и степени этих одночленов. Степень каждого из одночленов \(A^5\) и \(B^5\) в 5 раз больше степени \(A\), поэтому степени делимого и делителя равны.
Степень частного равна разности степеней делимого и делителя, значит, степень частного \(A^5 : B^5\) равна 0. Само это частное — число, равное отношению пятых степеней коэффициентов одночленов \(A\) и \(B\), а степень числа, не равного нулю, равна 0.
Ответ: 0.
