Страница 98 номер 535, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Учитель попросил написать на доске какие-нибудь одночлены, в которые входят ровно две переменные: \(a\) и \(b\). Петя написал одночлен \(5a^{10}b^{15}\), а Маша — одночлен \(3a^{20}b^{11}\). Затем все остальные ученики тоже написали по одночлену с теми же двумя переменными. Оказалось, что среди написанных одночленов ни один не делится ни на какой другой. Какое наибольшее количество учеников могло быть в этом классе?
Коэффициенты на делимость не влияют, важны только показатели при \(a\) и \(b\), причём оба не меньше 1.
\(a^{x_1}b^{y_1}\) делится на \(a^{x_2}b^{y_2}\), когда \(x_1 \geqslant x_2\) и \(y_1 \geqslant y_2\). Если бы показатели при \(a\) совпали, то одночлен с не меньшим показателем при \(b\) делился бы на другой, поэтому все показатели при \(a\) различны, и по той же причине различны показатели при \(b\).
Значит, по возрастанию показателя при \(a\) показатели при \(b\) убывают.
Петин \(5a^{10}b^{15}\) и Машин \(3a^{20}b^{11}\) в ряду уже стоят, остальные — три группы.
Показатель при \(a\) меньше 10 — одно из чисел 1, 2, …, 9: не больше девяти одночленов.
Показатель при \(a\) больше 10, но меньше 20 — показатель при \(b\) меньше 15 и больше 11, то есть 12, 13 или 14: не больше трёх одночленов.
Показатель при \(a\) больше 20 — показатель при \(b\) меньше 11 и не меньше 1, то есть одно из чисел 1, 2, …, 10: не больше десяти одночленов.
\(9 + 1 + 3 + 1 + 10 = 24\) — всего одночленов.
Столько их и может быть: \(ab^{24}\), \(a^2b^{23}\), …, \(a^9b^{16}\), \(5a^{10}b^{15}\), \(a^{11}b^{14}\), \(a^{12}b^{13}\), \(a^{13}b^{12}\), \(3a^{20}b^{11}\), \(a^{21}b^{10}\), \(a^{22}b^9\), …, \(a^{30}b\) — показатели при \(a\) возрастают, при \(b\) убывают, поэтому ни один одночлен не делится ни на какой другой.
Каждый одночлен написал свой ученик.
Ответ: 24 ученика.
Учитель попросил написать на доске какие-нибудь одночлены, в которые входят ровно две переменные: \(a\) и \(b\). Петя написал одночлен \(5a^{10}b^{15}\), а Маша — одночлен \(3a^{20}b^{11}\). Затем все остальные ученики тоже написали по одночлену с теми же двумя переменными. Оказалось, что среди написанных одночленов ни один не делится ни на какой другой. Какое наибольшее количество учеников могло быть в этом классе?
Коэффициенты на делимость одночленов не влияют: любой одночлен делится на любое число, не равное нулю. Поэтому важны только показатели степеней переменных \(a\) и \(b\), причём в каждый одночлен входят обе переменные, то есть оба показателя не меньше 1.
Одночлен \(a^{x_1}b^{y_1}\) делится на одночлен \(a^{x_2}b^{y_2}\), когда \(x_1 \geqslant x_2\) и \(y_1 \geqslant y_2\). По условию ни один одночлен не делится ни на какой другой. Если бы у двух одночленов показатели при \(a\) совпали, то тот из них, у которого показатель при \(b\) не меньше, делился бы на другой, поэтому все показатели при \(a\) различны; по той же причине различны и все показатели при \(b\).
Значит, из двух написанных одночленов у того, у которого показатель при \(a\) больше, показатель при \(b\) обязательно меньше, и если расположить одночлены по возрастанию показателя при \(a\), то показатели при \(b\) будут убывать.
Петин одночлен \(5a^{10}b^{15}\) и Машин одночлен \(3a^{20}b^{11}\) в этом ряду уже стоят. Остальные одночлены разбиваются на три группы.
Показатель при \(a\) меньше 10: тогда это одно из чисел 1, 2, …, 9, поэтому таких одночленов не больше девяти.
Показатель при \(a\) больше 10, но меньше 20: тогда показатель при \(b\) меньше 15 и больше 11, то есть равен 12, 13 или 14, поэтому таких одночленов не больше трёх.
Показатель при \(a\) больше 20: тогда показатель при \(b\) меньше 11 и не меньше 1, то есть это одно из чисел 1, 2, …, 10, поэтому таких одночленов не больше десяти.
Вместе с Петиным и Машиным одночленами получается не больше \(9 + 1 + 3 + 1 + 10 = 24\) одночленов.
Столько их и может быть: подойдёт набор \(ab^{24}\), \(a^2b^{23}\), …, \(a^9b^{16}\), затем \(5a^{10}b^{15}\), \(a^{11}b^{14}\), \(a^{12}b^{13}\), \(a^{13}b^{12}\), \(3a^{20}b^{11}\) и, наконец, \(a^{21}b^{10}\), \(a^{22}b^9\), …, \(a^{30}b\). Показатели при \(a\) в нём возрастают, а показатели при \(b\) убывают, поэтому ни один одночлен не делится ни на какой другой.
Каждый одночлен написал свой ученик, значит, учеников в классе могло быть 24.
Ответ: 24 ученика.
