Страница 98 номер 534, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Запишите в стандартном виде такой одночлен степени 100 с коэффициентом 1 с переменными \(a\), \(b\) и \(c\), который делится на одночлены \(a^{10}b^{15}\) и \(a^{11}b^{14}\), но не делится на одночлены \(a^{12}b^{13}\) и \(a^9b^{16}\).
Одночлен имеет вид \(a^xb^yc^z\) с натуральными \(x\), \(y\), \(z\), и \(x + y + z = 100\).
Из делимости на \(a^{10}b^{15}\): \(x \geqslant 10\) и \(y \geqslant 15\).
Из делимости на \(a^{11}b^{14}\): \(x \geqslant 11\) и \(y \geqslant 14\).
Вместе: \(x \geqslant 11\) и \(y \geqslant 15\).
Нет делимости на \(a^{12}b^{13}\): показатель \(y\) не меньше 15, то есть больше 13, поэтому нарушено условие для \(a\), то есть \(x < 12\), а вместе с \(x \geqslant 11\) это даёт \(x = 11\).
Нет делимости на \(a^9b^{16}\): показатель \(x\) равен 11, то есть больше 9, поэтому нарушено условие для \(b\), то есть \(y < 16\), а вместе с \(y \geqslant 15\) это даёт \(y = 15\).
\(z = 100 - 11 - 15 = 74\).
Ответ: \(a^{11}b^{15}c^{74}\).
Запишите в стандартном виде такой одночлен степени 100 с коэффициентом 1 с переменными \(a\), \(b\) и \(c\), который делится на одночлены \(a^{10}b^{15}\) и \(a^{11}b^{14}\), но не делится на одночлены \(a^{12}b^{13}\) и \(a^9b^{16}\).
Коэффициент искомого одночлена равен 1, а переменные — \(a\), \(b\) и \(c\), поэтому одночлен имеет вид \(a^xb^yc^z\), где \(x\), \(y\) и \(z\) — натуральные числа. Степень одночлена — сумма показателей степеней входящих в него переменных, значит, \(x + y + z = 100\).
Одночлен делится на одночлен, если показатель степени каждой переменной в делимом не меньше показателя этой переменной в делителе.
Из делимости на \(a^{10}b^{15}\) следует, что \(x \geqslant 10\) и \(y \geqslant 15\), а из делимости на \(a^{11}b^{14}\) — что \(x \geqslant 11\) и \(y \geqslant 14\). Вместе эти условия дают \(x \geqslant 11\) и \(y \geqslant 15\).
Одночлен не делится на \(a^{12}b^{13}\). Показатель \(y\) не меньше 15, то есть больше 13, поэтому нарушаться должно условие для переменной \(a\): \(x < 12\). Вместе с \(x \geqslant 11\) это даёт \(x = 11\).
Одночлен не делится на \(a^9b^{16}\). Показатель \(x\) равен 11, то есть больше 9, поэтому нарушаться должно условие для переменной \(b\): \(y < 16\). Вместе с \(y \geqslant 15\) это даёт \(y = 15\).
Тогда \(z = 100 - 11 - 15 = 74\).
Ответ: \(a^{11}b^{15}c^{74}\).
