Страница 98 номер 533, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Петя записал на доске несколько одночленов с положительными коэффициентами. Оказалось, что их сумма равна \(5x^2 + 10xy\), а произведение равно \(5x^{15}y^3\). Сколько одночленов записал Петя?
Коэффициенты положительны, поэтому в сумме останется каждая буквенная часть: сумма \(5x^2 + 10xy\), значит, каждый одночлен подобен \(x^2\) или \(xy\).
Пусть одночленов с буквенной частью \(x^2\) было \(p\), а с буквенной частью \(xy\) — \(q\).
\[(x^2)^p \cdot (xy)^q = x^{2p} \cdot x^qy^q = x^{2p+q}y^q.\]
Произведение равно \(5x^{15}y^3\), поэтому \(q = 3\) и \(2p + q = 15\), откуда \(2p = 15 - 3 = 12\) и \(p = 6\).
\(6 + 3 = 9\) (одночленов) — всего.
Проверка: набор \(x^2\), \(x^2\), \(x^2\), \(x^2\), \(0{,}5x^2\), \(0{,}5x^2\), \(5xy\), \(4xy\), \(xy\) даёт сумму \(5x^2 + 10xy\) и произведение \(5x^{15}y^3\).
Ответ: 9 одночленов.
Петя записал на доске несколько одночленов с положительными коэффициентами. Оказалось, что их сумма равна \(5x^2 + 10xy\), а произведение равно \(5x^{15}y^3\). Сколько одночленов записал Петя?
Все коэффициенты записанных одночленов положительны, поэтому при сложении ни одно слагаемое исчезнуть не может: в сумме останется каждая встретившаяся буквенная часть. Сумма равна \(5x^2 + 10xy\), значит, каждый одночлен Пети подобен либо \(x^2\), либо \(xy\).
Пусть одночленов с буквенной частью \(x^2\) было \(p\), а с буквенной частью \(xy\) — \(q\). При умножении всех одночленов коэффициенты перемножатся между собой, а буквенные части дадут
\[(x^2)^p \cdot (xy)^q = x^{2p} \cdot x^qy^q = x^{2p+q}y^q.\]
Произведение равно \(5x^{15}y^3\), поэтому \(q = 3\) и \(2p + q = 15\), откуда \(2p = 15 - 3 = 12\) и \(p = 6\).
Всего Петя записал \(6 + 3 = 9\) одночленов.
Проверка: набор \(x^2\), \(x^2\), \(x^2\), \(x^2\), \(0{,}5x^2\), \(0{,}5x^2\), \(5xy\), \(4xy\), \(xy\) из девяти одночленов даёт сумму \(5x^2 + 10xy\), произведение коэффициентов \(0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 5 \cdot 4 = 5\) и буквенную часть \(x^{12} \cdot x^3y^3 = x^{15}y^3\).
Ответ: 9 одночленов.
