Страница 98 номер 530, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каком наименьшем натуральном \(m\) произведение одночленов \(-a^7b \cdot a^m b^4\) является пятой степенью какого-то одночлена?
\[-a^7b \cdot a^mb^4 = -a^{7+m}b^{1+4} = -a^{7+m}b^5.\]
Пятая степень одночлена \(ka^pb^q\) равна \(k^5a^{5p}b^{5q}\), а у равных одночленов равны коэффициенты и показатели, поэтому \(k^5 = -1\), \(5q = 5\) и \(5p = 7 + m\).
\(k = -1\), так как \((-1)^5 = -1\).
Из \(5q = 5\) получаем \(q = 1\).
Наименьшее натуральное \(m\), при котором \(7 + m\) делится на 5: при \(m = 1\) и \(m = 2\) числа 8 и 9 на 5 не делятся, а при \(m = 3\) получается \(7 + 3 = 10 = 5 \cdot 2\), то есть \(p = 2\).
Проверка: \(-a^7b \cdot a^3b^4 = -a^{10}b^5 = (-a^2b)^5\).
Ответ: \(m = 3\).
При каком наименьшем натуральном \(m\) произведение одночленов \(-a^7b \cdot a^m b^4\) является пятой степенью какого-то одночлена?
Перемножим одночлены: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
\[-a^7b \cdot a^mb^4 = -a^{7+m}b^{1+4} = -a^{7+m}b^5.\]
Пятая степень одночлена \(ka^pb^q\) равна \(k^5a^{5p}b^{5q}\): при возведении одночлена в степень в неё возводится каждый множитель, а показатели степеней перемножаются.
Одночлены равны, когда равны их коэффициенты и совпадают показатели одинаковых переменных, поэтому должны выполняться равенства \(k^5 = -1\), \(5q = 5\) и \(5p = 7 + m\).
Коэффициент подходит при \(k = -1\), так как \((-1)^5 = -1\); из \(5q = 5\) получаем \(q = 1\). Осталось найти наименьшее натуральное \(m\), при котором число \(7 + m\) делится на 5.
При \(m = 1\) и \(m = 2\) получаются числа 8 и 9, они на 5 не делятся, а при \(m = 3\) получается \(7 + 3 = 10 = 5 \cdot 2\), то есть \(p = 2\).
Проверка: \(-a^7b \cdot a^3b^4 = -a^{10}b^5 = (-a^2b)^5\).
Ответ: \(m = 3\).
