Страница 97 номер 524, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каком натуральном значении \(x\) выполняется равенство \(\dfrac{5^x \cdot 25^x}{125^x} = 5^{x-1}\)?
Приведём степени к основанию 5: \(25^x = (5^2)^x = 5^{2x}\) и \(125^x = (5^3)^x = 5^{3x}\).
В числителе \(5^x \cdot 5^{2x} = 5^{3x}\).
\[\frac{5^x \cdot 25^x}{125^x} = \frac{5^{3x}}{5^{3x}} = 5^{3x-3x} = 5^0 = 1.\]
Равенство принимает вид \(5^{x-1} = 1\).
При \(x = 1\) показатель равен нулю и \(5^0 = 1\) — равенство верно. При \(x \geqslant 2\) показатель \(x - 1\) натуральный, и \(5^{x-1} \geqslant 5\) — равенство неверно.
Ответ: \(x = 1\).
При каком натуральном значении \(x\) выполняется равенство \(\dfrac{5^x \cdot 25^x}{125^x} = 5^{x-1}\)?
Приведём все степени левой части к основанию 5. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \(25^x = (5^2)^x = 5^{2x}\) и \(125^x = (5^3)^x = 5^{3x}\).
В числителе при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \(5^x \cdot 5^{2x} = 5^{3x}\).
\[\frac{5^x \cdot 25^x}{125^x} = \frac{5^{3x}}{5^{3x}} = 5^{3x-3x} = 5^0 = 1.\]
Левая часть равна 1 при любом натуральном \(x\), поэтому равенство принимает вид \(5^{x-1} = 1\).
При \(x = 1\) показатель равен нулю и \(5^0 = 1\) — равенство верно. При \(x \geqslant 2\) показатель \(x - 1\) — натуральное число, и тогда \(5^{x-1} \geqslant 5\), то есть левая и правая части не равны. Других натуральных значений \(x\) нет.
Ответ: \(x = 1\).
