Страница 97 номер 523, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
На доске записаны числа \(2^1\), \(2^2\), \(2^3\), \(\ldots\), \(2^9\). Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность — неотрицательное число. После восьми таких операций на доске останется единственное число.
а) Какое наименьшее значение может принимать это число?
б) Какое наибольшее значение может принимать это число?
\(2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1022\) — сумма девяти чисел.
Каждая операция заменяет два числа разностью, а раскрытие скобок (\(c - (a - b) = c - a + b\)) даёт: \(N\) — сумма девяти исходных чисел со знаками «плюс» и «минус».
Пусть \(s\) — сумма чисел со знаком «минус», тогда \(N = (1022 - s) - s = 1022 - 2s\).
Все числа чётные, поэтому \(s = 2t\) (\(t\) — целое неотрицательное) и \(N = 1022 - 4t\).
а) Числа неотрицательны, значит, \(N \geqslant 0\) и \(4t \leqslant 1022\); \(t\) целое, \(1022 : 4 = 255{,}5\), поэтому \(t \leqslant 255\) и \(N \geqslant 1022 - 4 \cdot 255 = 2\).
Вычитаем из большего числа соседнее меньшее:
\[\begin{aligned} &512 - 256 = 256, \quad 256 - 128 = 128, \quad 128 - 64 = 64, \\ &64 - 32 = 32, \quad 32 - 16 = 16, \quad 16 - 8 = 8, \\ &8 - 4 = 4, \quad 4 - 2 = 2. \end{aligned}\]
Восемь операций, осталось 2 — наименьшее возможное значение.
б) Разность неотрицательных чисел не больше уменьшаемого, поэтому \(N \leqslant 512\), откуда \(1022 - 4t \leqslant 512\) и \(4t \geqslant 510\); \(t\) целое, \(510 : 4 = 127{,}5\), поэтому \(t \geqslant 128\) и \(N \leqslant 1022 - 4 \cdot 128 = 510\).
Теми же вычитаниями сводим числа от 2 до 256 к двойке и вычитаем её из 512:
\[\begin{aligned} &256 - 128 = 128, \quad 128 - 64 = 64, \quad 64 - 32 = 32, \\ &32 - 16 = 16, \quad 16 - 8 = 8, \quad 8 - 4 = 4, \\ &4 - 2 = 2, \quad 512 - 2 = 510. \end{aligned}\]
Восемь операций, осталось 510 — наибольшее возможное значение.
Ответ: а) 2; б) 510.
На доске записаны числа \(2^1\), \(2^2\), \(2^3\), \(\ldots\), \(2^9\). Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность — неотрицательное число. После восьми таких операций на доске останется единственное число.
а) Какое наименьшее значение может принимать это число?
б) Какое наибольшее значение может принимать это число?
На доске записаны числа \(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\), \(\ldots\), \(2^9 = 512\). Их сумма равна
\[2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1022.\]
Каждая операция заменяет два числа их разностью, поэтому оставшееся в конце число составлено из девяти исходных чисел со знаками «плюс» и «минус»: достаточно раскрыть скобки, например \(c - (a - b) = c - a + b\). Значит, последнее число \(N\) равно сумме девяти исходных чисел, каждое из которых взято либо со знаком «плюс», либо со знаком «минус».
Пусть \(s\) — сумма тех чисел, которые вошли со знаком «минус». Остальные дают в сумме \(1022 - s\), поэтому
\[N = (1022 - s) - s = 1022 - 2s.\]
Все девять чисел чётные, поэтому и число \(s\) чётное: \(s = 2t\), где \(t\) — целое неотрицательное число. Значит, \(N = 1022 - 4t\).
а) По условию все получаемые числа неотрицательны, поэтому \(N \geqslant 0\), то есть \(4t \leqslant 1022\). Число \(t\) целое, а \(1022 : 4 = 255{,}5\), поэтому \(t \leqslant 255\) и \(N \geqslant 1022 - 4 \cdot 255 = 2\).
Значение 2 получается, если каждый раз вычитать из большего числа соседнее меньшее:
\[\begin{aligned} &512 - 256 = 256, \quad 256 - 128 = 128, \quad 128 - 64 = 64, \\ &64 - 32 = 32, \quad 32 - 16 = 16, \quad 16 - 8 = 8, \\ &8 - 4 = 4, \quad 4 - 2 = 2. \end{aligned}\]
Восемь операций выполнены, на доске осталось число 2 — это наименьшее возможное значение.
б) Разность двух неотрицательных чисел не больше уменьшаемого, поэтому ни одно число на доске не может стать больше наибольшего из записанных, то есть больше 512. Значит, \(N \leqslant 512\), откуда \(1022 - 4t \leqslant 512\) и \(4t \geqslant 510\). Число \(t\) целое, а \(510 : 4 = 127{,}5\), поэтому \(t \geqslant 128\) и \(N \leqslant 1022 - 4 \cdot 128 = 510\).
Значение 510 получается, если теми же вычитаниями свести к двойке числа от 2 до 256, а последней операцией вычесть её из 512:
\[\begin{aligned} &256 - 128 = 128, \quad 128 - 64 = 64, \quad 64 - 32 = 32, \\ &32 - 16 = 16, \quad 16 - 8 = 8, \quad 8 - 4 = 4, \\ &4 - 2 = 2, \quad 512 - 2 = 510. \end{aligned}\]
Восемь операций выполнены, на доске осталось число 510 — это наибольшее возможное значение.
Ответ: а) 2; б) 510.
