Страница 97 номер 522, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Запишите сумму \(2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20}\) в виде разности степени двойки и однозначного числа.
\(2^k + 2^k = 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}\) — сумма двух одинаковых степеней двойки.
Прибавим к сумме \(4 = 2^2\) — каждый раз получается такая же степень двойки, как следующее слагаемое:
\[\begin{aligned} &4 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20} = 2^3 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20} = {} \\ &= 2^4 + 2^4 + \ldots + 2^{20} = \ldots = 2^{20} + 2^{20} = 2^{21}. \end{aligned}\]
Сама сумма на 4 меньше: \(2^{21} - 4\); число 4 однозначное.
Ответ: \(2^{21} - 4\).
Запишите сумму \(2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20}\) в виде разности степени двойки и однозначного числа.
Сумма двух одинаковых степеней двойки — снова степень двойки: \(2^k + 2^k = 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}\), так как при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
Прибавим к данной сумме число \(4 = 2^2\). Тогда два первых слагаемых дадут \(2^2 + 2^2 = 2^3\), это число сложится со следующим слагаемым \(2^3\) и даст \(2^4\), и так далее — каждый раз получается ровно такая же степень двойки, как следующее слагаемое:
\[\begin{aligned} &4 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20} = 2^3 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20} = {} \\ &= 2^4 + 2^4 + \ldots + 2^{20} = \ldots = 2^{20} + 2^{20} = 2^{21}. \end{aligned}\]
Сама сумма на 4 меньше полученного числа: \(2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{20} = 2^{21} - 4\). Число 4 однозначное, поэтому требуемая запись получена.
Ответ: \(2^{21} - 4\).
