Страница 97 номер 517, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения \(\dfrac{80^{100} \cdot 20^{70} \cdot 5^{90} \cdot 4^{192}}{5^{258} \cdot 4^{460}}\).
\(80 = 2^4 \cdot 5\), \(20 = 2^2 \cdot 5\), \(4 = 2^2\).
\(80^{100} = (2^4 \cdot 5)^{100} = 2^{400} \cdot 5^{100}\).
\(20^{70} = (2^2 \cdot 5)^{70} = 2^{140} \cdot 5^{70}\).
\(4^{192} = (2^2)^{192} = 2^{384}\).
\(4^{460} = (2^2)^{460} = 2^{920}\).
\(400 + 140 + 384 = 924\) и \(100 + 70 + 90 = 260\) — показатели двойки и пятёрки.
\[\begin{aligned} &\frac{80^{100} \cdot 20^{70} \cdot 5^{90} \cdot 4^{192}}{5^{258} \cdot 4^{460}} = \frac{2^{400} \cdot 5^{100} \cdot 2^{140} \cdot 5^{70} \cdot 5^{90} \cdot 2^{384}}{5^{258} \cdot 2^{920}} = {} \\ &= \frac{2^{924} \cdot 5^{260}}{2^{920} \cdot 5^{258}} = 2^{924-920} \cdot 5^{260-258} = 2^4 \cdot 5^2 = 16 \cdot 25 = 400. \end{aligned}\]
Ответ: 400.
Найдите значение выражения \(\dfrac{80^{100} \cdot 20^{70} \cdot 5^{90} \cdot 4^{192}}{5^{258} \cdot 4^{460}}\).
Разложим основания на простые множители: \(80 = 2^4 \cdot 5\), \(20 = 2^2 \cdot 5\), \(4 = 2^2\).
При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель, а при возведении степени в степень показатели перемножаются: \(80^{100} = (2^4 \cdot 5)^{100} = 2^{400} \cdot 5^{100}\), \(20^{70} = (2^2 \cdot 5)^{70} = 2^{140} \cdot 5^{70}\), \(4^{192} = (2^2)^{192} = 2^{384}\), \(4^{460} = (2^2)^{460} = 2^{920}\).
Соберём отдельно степени двойки и степени пятёрки — при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются (\(400 + 140 + 384 = 924\) и \(100 + 70 + 90 = 260\)), а при делении вычитаются:
\[\begin{aligned} &\frac{80^{100} \cdot 20^{70} \cdot 5^{90} \cdot 4^{192}}{5^{258} \cdot 4^{460}} = \frac{2^{400} \cdot 5^{100} \cdot 2^{140} \cdot 5^{70} \cdot 5^{90} \cdot 2^{384}}{5^{258} \cdot 2^{920}} = {} \\ &= \frac{2^{924} \cdot 5^{260}}{2^{920} \cdot 5^{258}} = 2^{924-920} \cdot 5^{260-258} = 2^4 \cdot 5^2 = 16 \cdot 25 = 400. \end{aligned}\]
Ответ: 400.
