Страница 97 номер 516, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Факториалом натурального числа \(n\), большего единицы, называется произведение всех натуральных чисел, не превосходящих \(n\). Факториал числа \(n\) обозначается \(n!\), и по определению \(n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1\). Также принято считать, что \(0! = 1! = 1\). Определите, каким количеством нулей оканчивается \(18!\).
Нуль на конце даёт множитель \(10 = 2 \cdot 5\), значит, нужны пары «двойка и пятёрка» в произведении \(18! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 18\).
Пятёрку дают только кратные 5, их три: \(5 = 5\), \(10 = 2 \cdot 5\), \(15 = 3 \cdot 5\) — по одной пятёрке каждое, а 25 в произведение не входит.
Чётных чисел от 1 до 18 девять, поэтому двоек больше трёх.
Три пятёрки и три двойки дают \(18! = 10^3 \cdot k\), где \(k\) — натуральное число; множителя 5 в \(k\) не осталось, поэтому на 10 оно не делится и нулей ровно три.
Ответ: \(18!\) оканчивается тремя нулями.
Факториалом натурального числа \(n\), большего единицы, называется произведение всех натуральных чисел, не превосходящих \(n\). Факториал числа \(n\) обозначается \(n!\), и по определению \(n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1\). Также принято считать, что \(0! = 1! = 1\). Определите, каким количеством нулей оканчивается \(18!\).
Каждый нуль на конце числа даёт множитель 10, а \(10 = 2 \cdot 5\). Значит, надо выяснить, сколько пар «двойка и пятёрка» есть среди множителей произведения \(18! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 18\).
Множитель 5 входит только в числа, кратные 5. Среди чисел от 1 до 18 таких три — 5, 10 и 15, и каждое из них даёт ровно одну пятёрку: \(5 = 5\), \(10 = 2 \cdot 5\), \(15 = 3 \cdot 5\). Число 25, которое дало бы сразу две пятёрки, в произведение не входит, поэтому пятёрок ровно три.
Чётных чисел от 1 до 18 девять — это 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и 18, поэтому двоек в произведении заведомо больше трёх.
Из трёх пятёрок и трёх двоек составляются три множителя 10, значит, \(18! = 10^3 \cdot k\), где \(k\) — натуральное число. Больше трёх нулей на конце быть не может: в числе \(k\) не осталось ни одного множителя 5, поэтому \(k\) на 10 не делится и оканчивается не нулём.
Ответ: \(18!\) оканчивается тремя нулями.
