Страница 80 номер 348, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|x| = a + 3\) имеет два корня?
\(|x|\) — расстояние от точки \(x\) до нуля, отрицательным оно не бывает.
Если \(a + 3 < 0\), корней нет.
Если \(a + 3 = 0\), то \(|x| = 0\) — один корень \(x = 0\).
Если \(a + 3 > 0\), то на расстоянии \(a + 3\) от нуля есть ровно две точки — справа и слева: \(x = a + 3\) и \(x = -(a + 3)\).
Два корня получаются только в третьем случае: \(a + 3 > 0\), откуда \(a > -3\).
Ответ: при \(a > -3\), то есть при \(a \in (-3; +\infty)\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|x| = a + 3\) имеет два корня?
Модуль числа — это расстояние от нуля до точки числовой прямой с такой координатой, поэтому модуль не бывает отрицательным. Уравнение \(|x| = a + 3\) означает, что расстояние от точки \(x\) до нуля равно \(a + 3\).
Если \(a + 3 < 0\), то корней нет: отрицательным расстояние быть не может.
Если \(a + 3 = 0\), то уравнение принимает вид \(|x| = 0\) и имеет единственный корень \(x = 0\): только сам нуль удалён от нуля на расстояние 0.
Если \(a + 3 > 0\), то на числовой прямой есть ровно две точки, удалённые от нуля на расстояние \(a + 3\), — одна справа от нуля, другая слева. В этом случае уравнение имеет два корня: \(x = a + 3\) и \(x = -(a + 3)\).
Два корня получаются только в третьем случае, поэтому \(a + 3 > 0\), откуда \(a > -3\).
Ответ: при \(a > -3\), то есть при \(a \in (-3; +\infty)\).
