Страница 76 номер 304, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Квадрат со стороной 12 нужно разрезать на три прямоугольника, сумма периметров которых равна 83. Оказалось, что периметр одного из прямоугольников не зависит от способа разрезания. Найдите периметр этого прямоугольника.
Дано:
квадрат со стороной 12
разрезан на три прямоугольника
сумма периметров трёх прямоугольников равна 83
Найти: периметр прямоугольника, не зависящий от способа разрезания.
Решение:
Разрезать можно либо двумя параллельными разрезами — на три полосы, либо одним разрезом через весь квадрат и вторым, перпендикулярным ему, делящим одну из частей ещё на две.
У полос длина 12, а ширины \(a\), \(b\) и \(c\) в сумме дают 12:
\[2(12 + a) + 2(12 + b) + 2(12 + c) = 72 + 2(a + b + c) = 72 + 24 = 96.\]
У полос сумма периметров всегда 96, а по условию она 83, значит, разрез второго вида.
Первый разрез отсекает прямоугольник со сторонами 12 и \(x\), его периметр \(2(12 + x)\).
Вторая часть — прямоугольник со сторонами 12 и \((12 - x)\); разрез длиной \(12 - x\) становится стороной каждой из двух новых частей:
\[2 \cdot (12 + 12 - x) + 2 \cdot (12 - x) = 48 - 2x + 24 - 2x = 72 - 4x.\]
Сумма всех трёх периметров равна 83:
\[2(12 + x) + (72 - 4x) = 83.\]
Отсюда \(96 - 2x = 83\), \(2x = 13\), \(x = 6{,}5\).
От сдвига второго разреза меняются только два последних периметра, а прямоугольник, отсечённый первым разрезом, не меняется:
\[2 \cdot (12 + 6{,}5) = 2 \cdot 18{,}5 = 37.\]
Проверка: вторая часть — прямоугольник со сторонами 12 и \(12 - 6{,}5 = 5{,}5\); разрезав её на части со сторонами 4 и \(5{,}5\) и со сторонами 8 и \(5{,}5\), получим \(37 + 2 \cdot (4 + 5{,}5) + 2 \cdot (8 + 5{,}5) = 37 + 19 + 27 = 83\).
Ответ: периметр прямоугольника со сторонами 12 и \(6{,}5\) равен 37.
Квадрат со стороной 12 нужно разрезать на три прямоугольника, сумма периметров которых равна 83. Оказалось, что периметр одного из прямоугольников не зависит от способа разрезания. Найдите периметр этого прямоугольника.
Дано:
квадрат со стороной 12
разрезан на три прямоугольника
сумма периметров трёх прямоугольников равна 83
Найти: периметр прямоугольника, не зависящий от способа разрезания.
Решение:
Разрезать квадрат на три прямоугольника можно двумя способами: либо двумя параллельными разрезами — тогда получаются три полосы, либо одним разрезом через весь квадрат, а затем вторым разрезом, перпендикулярным первому, который делит одну из двух получившихся частей ещё на две.
При разрезании на полосы длина каждой полосы равна 12, а ширины полос \(a\), \(b\) и \(c\) в сумме дают 12. Сумма периметров трёх полос равна
\[2(12 + a) + 2(12 + b) + 2(12 + c) = 72 + 2(a + b + c) = 72 + 24 = 96.\]
Значит, при разрезании на полосы сумма периметров всегда равна 96, а по условию она равна 83. Следовательно, квадрат разрезан вторым способом.
Пусть первый разрез отсекает прямоугольник со сторонами 12 и \(x\). Его периметр равен \(2(12 + x)\).
Вторая часть — прямоугольник со сторонами 12 и \((12 - x)\), и его разрезают поперёк на два прямоугольника. Линия разреза имеет длину \(12 - x\) и становится стороной каждого из двух новых прямоугольников, поэтому сумма их периметров больше периметра разрезанной части на две длины разреза:
\[2 \cdot (12 + 12 - x) + 2 \cdot (12 - x) = 48 - 2x + 24 - 2x = 72 - 4x.\]
Сумма периметров всех трёх прямоугольников равна 83. Составим уравнение и решим его:
\[2(12 + x) + (72 - 4x) = 83;\]
\[24 + 2x + 72 - 4x = 83;\]
\[96 - 2x = 83;\]
\[2x = 96 - 83;\]
\[2x = 13;\]
\[x = 6{,}5.\]
Периметры двух прямоугольников, полученных вторым разрезом, меняются, если этот разрез сдвинуть, а прямоугольник, отсечённый первым разрезом, при этом не меняется вовсе. Значит, от способа разрезания не зависит периметр прямоугольника со сторонами 12 и \(6{,}5\):
\[2 \cdot (12 + 6{,}5) = 2 \cdot 18{,}5 = 37.\]
Проверка: вторая часть квадрата — прямоугольник со сторонами 12 и \(12 - 6{,}5 = 5{,}5\); если разрезать его на части со сторонами 4 и \(5{,}5\) и со сторонами 8 и \(5{,}5\), то сумма всех трёх периметров равна \(37 + 2 \cdot (4 + 5{,}5) + 2 \cdot (8 + 5{,}5) = 37 + 19 + 27 = 83\).
Ответ: периметр прямоугольника со сторонами 12 и \(6{,}5\) равен 37.
