Страница 49 номер 153, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте на координатной плоскости треугольник, вершинами которого являются точки \(A(3; -1)\), \(B(0; 4)\), \(C(-4; 4)\). Найдите координаты вершин треугольника, симметричного треугольнику \(ABC\) относительно:
а) оси \(x\); б) оси \(y\); в) начала координат; г) точки \(A\); д) прямой \(BC\).
Отмечаем \(A(3; -1)\), \(B(0; 4)\), \(C(-4; 4)\) и соединяем отрезками.
а) Относительно оси \(x\) точка \((x; y)\) переходит в точку \((x; -y)\): \(A(3; -1)\) — в \((3; 1)\), \(B(0; 4)\) — в \((0; -4)\), \(C(-4; 4)\) — в \((-4; -4)\).
б) Относительно оси \(y\) точка \((x; y)\) переходит в точку \((-x; y)\): \(A\) — в \((-3; -1)\), \(B\) — в \((0; 4)\) (лежит на оси \(y\), переходит сама в себя), \(C\) — в \((4; 4)\).
в) Относительно начала координат точка \((x; y)\) переходит в точку \((-x; -y)\): \(A\) — в \((-3; 1)\), \(B\) — в \((0; -4)\), \(C\) — в \((4; -4)\).
г) Точка \(A\) — середина отрезка между точкой и её образом, поэтому сама \(A\) переходит в \((3; -1)\). От \(B(0; 4)\) до \(A\) нужно сместиться на 3 единицы вправо и на 5 вниз, значит, образ \(B\) — точка \((3 + 3;\ -1 - 5) = (6; -6)\). Проверка: \(\left(\frac{0 + 6}{2};\ \frac{4 + (-6)}{2}\right) = (3; -1)\). От \(C(-4; 4)\) до \(A\) — 7 вправо и 5 вниз, значит, образ \(C\) — точка \((3 + 7;\ -1 - 5) = (10; -6)\).
д) У \(B\) и \(C\) ординаты одинаковы и равны 4, поэтому прямая \(BC\) горизонтальная; \(B\) и \(C\) лежат на ней и переходят сами в себя. Точка \(A\) ниже прямой \(BC\) на \(4 - (-1) = 5\) единиц, значит, её образ выше прямой на 5 единиц: \((3; 9)\).
Ответ: а) \((3; 1)\), \((0; -4)\), \((-4; -4)\); б) \((-3; -1)\), \((0; 4)\), \((4; 4)\); в) \((-3; 1)\), \((0; -4)\), \((4; -4)\); г) \((3; -1)\), \((6; -6)\), \((10; -6)\); д) \((3; 9)\), \((0; 4)\), \((-4; 4)\).
Постройте на координатной плоскости треугольник, вершинами которого являются точки \(A(3; -1)\), \(B(0; 4)\), \(C(-4; 4)\). Найдите координаты вершин треугольника, симметричного треугольнику \(ABC\) относительно:
а) оси \(x\); б) оси \(y\); в) начала координат; г) точки \(A\); д) прямой \(BC\).
Отметим на координатной плоскости точки \(A(3; -1)\), \(B(0; 4)\), \(C(-4; 4)\) и последовательно соединим их отрезками — получим треугольник \(ABC\).
а) При симметрии относительно оси \(x\) абсцисса точки не меняется, а ордината меняет знак: точка \((x; y)\) переходит в точку \((x; -y)\).
Поэтому \(A(3; -1)\) переходит в точку \((3; 1)\), точка \(B(0; 4)\) — в точку \((0; -4)\), точка \(C(-4; 4)\) — в точку \((-4; -4)\).
б) При симметрии относительно оси \(y\) ордината точки не меняется, а абсцисса меняет знак: точка \((x; y)\) переходит в точку \((-x; y)\).
Поэтому \(A(3; -1)\) переходит в точку \((-3; -1)\), точка \(B(0; 4)\) — в точку \((0; 4)\) (она лежит на оси \(y\) и переходит сама в себя), точка \(C(-4; 4)\) — в точку \((4; 4)\).
в) При симметрии относительно начала координат обе координаты меняют знак: точка \((x; y)\) переходит в точку \((-x; -y)\).
Поэтому \(A(3; -1)\) переходит в точку \((-3; 1)\), точка \(B(0; 4)\) — в точку \((0; -4)\), точка \(C(-4; 4)\) — в точку \((4; -4)\).
г) Симметрия относительно точки \(A\) означает, что точка \(A\) является серединой отрезка, соединяющего каждую точку с её образом.
Сама точка \(A\) переходит в себя, то есть в точку \((3; -1)\).
От точки \(B(0; 4)\) до точки \(A(3; -1)\) нужно сместиться на 3 единицы вправо и на 5 единиц вниз. Значит, от точки \(A\) до образа точки \(B\) нужно сместиться ещё на 3 единицы вправо и на 5 единиц вниз:
\[(3 + 3;\ -1 - 5) = (6; -6).\]
Проверим по формуле координат середины отрезка: середина отрезка с концами \((0; 4)\) и \((6; -6)\) имеет координаты \(\left(\frac{0 + 6}{2};\ \frac{4 + (-6)}{2}\right) = (3; -1)\), то есть это действительно точка \(A\).
От точки \(C(-4; 4)\) до точки \(A(3; -1)\) нужно сместиться на 7 единиц вправо и на 5 единиц вниз, значит, образ точки \(C\) имеет координаты
\[(3 + 7;\ -1 - 5) = (10; -6).\]
д) У точек \(B(0; 4)\) и \(C(-4; 4)\) ординаты одинаковы и равны 4, поэтому прямая \(BC\) — горизонтальная прямая, все точки которой имеют ординату 4.
При симметрии относительно такой прямой абсцисса точки не меняется, а ордината меняется так, чтобы прямая \(BC\) оказалась ровно посередине между точкой и её образом.
Точки \(B\) и \(C\) лежат на самой прямой \(BC\), поэтому переходят сами в себя: \((0; 4)\) и \((-4; 4)\).
Точка \(A(3; -1)\) лежит ниже прямой \(BC\) на \(4 - (-1) = 5\) единиц. Значит, её образ лежит выше прямой \(BC\) на 5 единиц, то есть имеет ординату \(4 + 5 = 9\), а абсциссу 3:
\[(3; 9).\]
Ответ: а) \((3; 1)\), \((0; -4)\), \((-4; -4)\); б) \((-3; -1)\), \((0; 4)\), \((4; 4)\); в) \((-3; 1)\), \((0; -4)\), \((4; -4)\); г) \((3; -1)\), \((6; -6)\), \((10; -6)\); д) \((3; 9)\), \((0; 4)\), \((-4; 4)\).
