Страница 248 номер 1470, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите одночлен, который в 5-й степени равен одночлену \(1024 g^{65} h^{75}\). Запишите его в стандартном виде.
Пусть искомый одночлен равен \(kg^mh^n\).
\[(kg^mh^n)^5 = k^5 \cdot (g^m)^5 \cdot (h^n)^5 = k^5g^{5m}h^{5n}.\]
Значит, \(k^5 = 1024\), \(5m = 65\) и \(5n = 75\), откуда \(m = 65 : 5 = 13\) и \(n = 75 : 5 = 15\).
\(1024 = 2^{10} = (2^2)^5 = 4^5\), значит, \(k = 4\); пятая степень отрицательного числа отрицательна, поэтому других значений \(k\) нет.
Проверка: \((4g^{13}h^{15})^5 = 4^5g^{65}h^{75} = 1024g^{65}h^{75}\).
Ответ: \(4g^{13}h^{15}\).
Найдите одночлен, который в 5-й степени равен одночлену \(1024 g^{65} h^{75}\). Запишите его в стандартном виде.
Обозначим искомый одночлен через \(kg^mh^n\), где \(k\) — коэффициент. Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень каждый его множитель, а при возведении степени в степень показатели перемножаются:
\[(kg^mh^n)^5 = k^5 \cdot (g^m)^5 \cdot (h^n)^5 = k^5g^{5m}h^{5n}.\]
Одночлены равны, когда равны их коэффициенты и совпадают показатели одинаковых переменных, поэтому \(k^5 = 1024\), \(5m = 65\) и \(5n = 75\). Отсюда \(m = 65 : 5 = 13\) и \(n = 75 : 5 = 15\).
Коэффициент найдём разложением числа 1024 на равные множители: \(1024 = 2^{10} = (2^2)^5 = 4^5\), значит, \(k = 4\). Пятая степень отрицательного числа отрицательна, поэтому других значений \(k\) нет.
Проверка: \((4g^{13}h^{15})^5 = 4^5g^{65}h^{75} = 1024g^{65}h^{75}\).
Ответ: \(4g^{13}h^{15}\).
