Страница 48 номер 146, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте в тетради координатную плоскость. На этой координатной плоскости отметьте точки \(A(-3; 6)\) и \(B(5; -2)\).
а) Найдите координаты точки \(C\) — точки пересечения отрезка \(AB\) с осью ординат.
б) Найдите координаты точки \(D\) — точки пересечения отрезка \(AB\) с осью абсцисс.
в) Найдите координаты точки \(E\), симметричной точке \(A\) относительно начала координат.
г) Найдите координаты точки \(F\), симметричной точке \(B\) относительно оси ординат.
д) Какие из отмеченных точек лежат в IV четверти?
Отмечаем \(A(-3; 6)\) и \(B(5; -2)\), соединяем отрезком; точки \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) найдены ниже.
а) Середина \(AB\) — точка \(M\left(\frac{-3 + 5}{2}; \frac{6 + (-2)}{2}\right) = M(1; 2)\); середина \(AM\) — точка \(K(-1; 4)\); середина \(KM\) — точка \(\left(\frac{-1 + 1}{2}; \frac{4 + 2}{2}\right) = (0; 3)\). Она лежит на отрезке \(AB\), и её абсцисса равна нулю, значит, \(C(0; 3)\).
б) Середина \(MB\) — точка \(\left(\frac{1 + 5}{2}; \frac{2 + (-2)}{2}\right) = (3; 0)\); она лежит на \(AB\), её ордината равна нулю, значит, \(D(3; 0)\).
в) У точек, симметричных относительно начала координат, обе координаты противоположны: \(E(3; -6)\).
г) У точек, симметричных относительно оси ординат, ординаты одинаковы, а абсциссы противоположны: \(F(-5; -2)\).
д) В IV четверти абсцисса положительна, ордината отрицательна — это \(B(5; -2)\) и \(E(3; -6)\); \(A(-3; 6)\) лежит во II четверти, \(F(-5; -2)\) — в III, а \(C(0; 3)\) и \(D(3; 0)\) лежат на осях.
Ответ: а) \(C(0; 3)\); б) \(D(3; 0)\); в) \(E(3; -6)\); г) \(F(-5; -2)\); д) в IV четверти лежат точки \(B\) и \(E\).
Постройте в тетради координатную плоскость. На этой координатной плоскости отметьте точки \(A(-3; 6)\) и \(B(5; -2)\).
а) Найдите координаты точки \(C\) — точки пересечения отрезка \(AB\) с осью ординат.
б) Найдите координаты точки \(D\) — точки пересечения отрезка \(AB\) с осью абсцисс.
в) Найдите координаты точки \(E\), симметричной точке \(A\) относительно начала координат.
г) Найдите координаты точки \(F\), симметричной точке \(B\) относительно оси ординат.
д) Какие из отмеченных точек лежат в IV четверти?
Начертим координатную плоскость и отметим на ней точки \(A(-3; 6)\) и \(B(5; -2)\): у точки \(A\) абсцисса \(-3\), ордината 6; у точки \(B\) абсцисса 5, ордината \(-2\). Соединим точки отрезком.
На этом же чертеже отмечены точки \(C\), \(D\), \(E\) и \(F\), которые мы найдём ниже.
а) По чертежу видно, что отрезок \(AB\) пересекает ось ординат в точке \((0; 3)\).
Проверим это с помощью формулы координат середины отрезка. Середина отрезка \(AB\) — точка
\[M\left(\frac{-3 + 5}{2}; \frac{6 + (-2)}{2}\right) = M(1; 2).\]
Середина отрезка \(AM\) — точка
\[K\left(\frac{-3 + 1}{2}; \frac{6 + 2}{2}\right) = K(-1; 4).\]
Середина отрезка \(KM\) — точка
\[\left(\frac{-1 + 1}{2}; \frac{4 + 2}{2}\right) = (0; 3).\]
Середина отрезка всегда лежит на самом отрезке, поэтому все три найденные точки лежат на отрезке \(AB\). У последней из них абсцисса равна нулю, значит, она лежит и на оси ординат. Это и есть искомая точка: \(C(0; 3)\).
б) По чертежу отрезок \(AB\) пересекает ось абсцисс в точке \((3; 0)\).
Проверим это так же. Середина отрезка \(MB\), где \(M(1; 2)\) и \(B(5; -2)\), — точка
\[\left(\frac{1 + 5}{2}; \frac{2 + (-2)}{2}\right) = (3; 0).\]
Эта точка лежит на отрезке \(AB\), и её ордината равна нулю, значит, она лежит на оси абсцисс. Получаем \(D(3; 0)\).
в) У точек, симметричных относительно начала координат, обе координаты противоположны. Точка \(A\) имеет координаты \((-3; 6)\), поэтому симметричная ей точка имеет координаты \(E(3; -6)\).
г) У точек, симметричных относительно оси ординат, ординаты одинаковы, а абсциссы противоположны. Точка \(B\) имеет координаты \((5; -2)\), поэтому \(F(-5; -2)\).
д) В IV четверти лежат точки, у которых абсцисса положительна, а ордината отрицательна.
\(A(-3; 6)\) — абсцисса отрицательна, ордината положительна: это II четверть.
\(B(5; -2)\) — абсцисса положительна, ордината отрицательна: это IV четверть.
\(C(0; 3)\) и \(D(3; 0)\) лежат на координатных осях, поэтому не лежат ни в одной четверти.
\(E(3; -6)\) — абсцисса положительна, ордината отрицательна: это IV четверть.
\(F(-5; -2)\) — обе координаты отрицательны: это III четверть.
Ответ: а) \(C(0; 3)\); б) \(D(3; 0)\); в) \(E(3; -6)\); г) \(F(-5; -2)\); д) в IV четверти лежат точки \(B\) и \(E\).
