Страница 247 номер 1443, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения \((-1)^{n-2} \cdot (-1)^{n-1} \cdot (-1)^n \cdot (-1)^{n+1} \cdot (-1)^{n+2} \cdot (-1)^{n+3}\) при натуральном \(n\).
Множитель \((-1)^{n-2}\) имеет смысл при \(n - 2 \geqslant 0\), то есть при \(n \geqslant 2\).
\[(n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 6n + 3.\]
Произведение равно \((-1)^{6n+3}\); число \(6n\) чётно, поэтому показатель \(6n + 3\) нечётный, а нечётная степень числа \(-1\) равна \(-1\).
Ответ: \(-1\) при любом натуральном \(n \geqslant 2\).
Найдите значение выражения \((-1)^{n-2} \cdot (-1)^{n-1} \cdot (-1)^n \cdot (-1)^{n+1} \cdot (-1)^{n+2} \cdot (-1)^{n+3}\) при натуральном \(n\).
Степень с отрицательным показателем не определена, поэтому множитель \((-1)^{n-2}\) имеет смысл только при \(n - 2 \geqslant 0\), то есть при \(n \geqslant 2\); при \(n = 2\) этот множитель равен \((-1)^0 = 1\).
Основание у всех шести степеней одно и то же — число \(-1\), а при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним и показатели степеней складываются. Сложим показатели:
\[(n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 6n + 3.\]
Значит, данное произведение равно \((-1)^{6n+3}\). Число \(6n\) чётно при любом натуральном \(n\), поэтому показатель \(6n + 3\) нечётный, а нечётная степень числа \(-1\) равна \(-1\).
Ответ: \(-1\) при любом натуральном \(n \geqslant 2\).
