Страница 246 номер 1439, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Упростите выражение \(\left(\dfrac{8^4 m^3}{18^5 n^5}\right)^6 \cdot \dfrac{(81mn^2)^{15}}{(2^5 m^4)^8}\).
Выражение имеет смысл при \(m \neq 0\) и \(n \neq 0\).
\(8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}\), \(18^5 = (2 \cdot 3^2)^5 = 2^5 \cdot 3^{10}\), \(81^{15} = (3^4)^{15} = 3^{60}\), \((2^5)^8 = 2^{40}\).
\[\begin{aligned} &\left(\frac{8^4m^3}{18^5n^5}\right)^6 \cdot \frac{(81mn^2)^{15}}{(2^5m^4)^8} = \frac{2^{72}m^{18}}{2^{30} \cdot 3^{60}n^{30}} \cdot \frac{3^{60}m^{15}n^{30}}{2^{40}m^{32}} = {} \\ &= \frac{2^{42}m^{18}}{3^{60}n^{30}} \cdot \frac{3^{60}m^{15}n^{30}}{2^{40}m^{32}} = \frac{2^{42} \cdot 3^{60}m^{33}n^{30}}{2^{40} \cdot 3^{60}m^{32}n^{30}} = {} \\ &= 2^{42-40}m^{33-32} = 2^2m = 4m. \end{aligned}\]
Ответ: \(4m\).
Упростите выражение \(\left(\dfrac{8^4 m^3}{18^5 n^5}\right)^6 \cdot \dfrac{(81mn^2)^{15}}{(2^5 m^4)^8}\).
Выражение имеет смысл при \(m \neq 0\) и \(n \neq 0\).
Приведём числа к степеням двойки и тройки: \(8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}\), \(18^5 = (2 \cdot 3^2)^5 = 2^5 \cdot 3^{10}\), \(81^{15} = (3^4)^{15} = 3^{60}\), \((2^5)^8 = 2^{40}\).
Возведём в степень числитель и знаменатель каждой дроби:
\[\left(\frac{8^4m^3}{18^5n^5}\right)^6 = \frac{2^{72}m^{18}}{2^{30} \cdot 3^{60}n^{30}} = \frac{2^{42}m^{18}}{3^{60}n^{30}},\]
\[\frac{(81mn^2)^{15}}{(2^5m^4)^8} = \frac{3^{60}m^{15}n^{30}}{2^{40}m^{32}}.\]
Перемножим полученные дроби и сократим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели:
\[\begin{aligned} &\frac{2^{42}m^{18}}{3^{60}n^{30}} \cdot \frac{3^{60}m^{15}n^{30}}{2^{40}m^{32}} = \frac{2^{42} \cdot 3^{60}m^{33}n^{30}}{2^{40} \cdot 3^{60}m^{32}n^{30}} = {} \\ &= 2^{42-40}m^{33-32} = 2^2m = 4m. \end{aligned}\]
Ответ: \(4m\).
