Страница 238 номер 1311, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Смешав 41%-й и 63%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 49%-й раствор кислоты. Если бы вместо воды добавили 10 кг 50%-го раствора этой же кислоты, то получили бы 54%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 41%-го раствора использовали для получения смеси?
Дано:
41%-й и 63%-й растворы кислоты
с добавкой 10 кг воды — 49%-й раствор
с добавкой 10 кг 50%-го раствора — 54%-й раствор
Найти: массу 41%-го раствора.
Решение:
Пусть \(x\) кг — масса 41%-го раствора, \(y\) кг — 63%-го; кислоты в них \(0{,}41x\) кг и \(0{,}63y\) кг.
В воде кислоты нет: масса смеси \(x + y + 10\) кг, кислоты в ней те же \(0{,}41x + 0{,}63y\) кг — это 49 % смеси.
С 10 кг 50%-го раствора масса смеси та же, а кислоты на \(0{,}5 \cdot 10 = 5\) (кг) больше — это 54 % смеси:
\[\begin{cases} 0{,}41x + 0{,}63y = 0{,}49(x + y + 10), \\ 0{,}41x + 0{,}63y + 5 = 0{,}54(x + y + 10). \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое — слагаемые с \(x\) и \(y\) уничтожатся:
\[5 = 0{,}05(x + y + 10); \qquad x + y + 10 = 100; \qquad x + y = 90.\]
\(0{,}49 \cdot 100 = 49\) (кг) — кислоты в смеси массой 100 кг:
\[\begin{cases} x + y = 90, \\ 0{,}41x + 0{,}63y = 49. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(y = 90 - x\):
\[0{,}41x + 0{,}63(90 - x) = 49; \qquad 56{,}7 - 0{,}22x = 49; \qquad 0{,}22x = 7{,}7; \qquad x = 35.\]
\(y = 90 - 35 = 55\).
Проверка: \(0{,}41 \cdot 35 + 0{,}63 \cdot 55 = 49\) (кг) — кислоты в исходных растворах, \(35 + 55 + 10 = 100\) (кг) — масса смеси, \(49 : 100 = 0{,}49\), то есть 49 %; с 10 кг 50%-го раствора кислоты станет \(49 + 5 = 54\) (кг), то есть 54 %.
Ответ: для получения смеси использовали 35 кг 41%-го раствора.
Смешав 41%-й и 63%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 49%-й раствор кислоты. Если бы вместо воды добавили 10 кг 50%-го раствора этой же кислоты, то получили бы 54%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 41%-го раствора использовали для получения смеси?
Дано:
41%-й и 63%-й растворы кислоты
с добавкой 10 кг воды — 49%-й раствор
с добавкой 10 кг 50%-го раствора — 54%-й раствор
Найти: массу 41%-го раствора.
Решение:
Пусть \(x\) кг — масса 41%-го раствора, \(y\) кг — масса 63%-го раствора. Кислоты в них \(0{,}41x\) кг и \(0{,}63y\) кг.
В чистой воде кислоты нет, поэтому после добавления 10 кг воды масса смеси равна \(x + y + 10\) кг, а кислоты в ней столько же, сколько было в двух растворах, — \(0{,}41x + 0{,}63y\) кг, и это 49 % массы смеси.
Если вместо воды добавить 10 кг 50%-го раствора, в котором \(0{,}5 \cdot 10 = 5\) (кг) кислоты, то масса смеси будет прежней — \(x + y + 10\) кг, кислоты в ней станет \(0{,}41x + 0{,}63y + 5\) кг, и это 54 % массы смеси. Составим систему:
\[\begin{cases} 0{,}41x + 0{,}63y = 0{,}49(x + y + 10), \\ 0{,}41x + 0{,}63y + 5 = 0{,}54(x + y + 10). \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения системы первое — слагаемые \(0{,}41x\) и \(0{,}63y\) уничтожатся:
\[(0{,}41x + 0{,}63y + 5) - (0{,}41x + 0{,}63y) = 0{,}54(x + y + 10) - 0{,}49(x + y + 10).\]
В левой части остаётся 5, в правой — \(0{,}05(x + y + 10)\):
\[5 = 0{,}05(x + y + 10); \qquad x + y + 10 = 100; \qquad x + y = 90.\]
Масса смеси равна 100 кг, а кислоты в ней \(0{,}49 \cdot 100 = 49\) (кг), поэтому первое уравнение системы принимает вид \(0{,}41x + 0{,}63y = 49\):
\[\begin{cases} x + y = 90, \\ 0{,}41x + 0{,}63y = 49. \end{cases}\]
Выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = 90 - x\) — и подставим во второе:
\[0{,}41x + 0{,}63(90 - x) = 49; \qquad 56{,}7 - 0{,}22x = 49.\]
Отсюда находим \(x\):
\[0{,}22x = 7{,}7; \qquad x = 35.\]
Тогда \(y = 90 - 35 = 55\).
Проверка: кислоты в исходных растворах \(0{,}41 \cdot 35 + 0{,}63 \cdot 55 = 14{,}35 + 34{,}65 = 49\) (кг). С 10 кг воды масса смеси равна \(35 + 55 + 10 = 100\) (кг), а концентрация кислоты — \(49 : 100 = 0{,}49\), то есть 49 %. С 10 кг 50%-го раствора кислоты в смеси той же массы станет \(49 + 5 = 54\) (кг), то есть 54 %.
Ответ: для получения смеси использовали 35 кг 41%-го раствора.
