Страница 238 номер 1308, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Имеются два сплава золота с серебром. В первом сплаве масса серебра относится к массе золота как \(1 : 4\), а во втором — как \(1 : 2\). Сколько граммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 95 г нового сплава, в котором серебро и золото находятся в отношении \(5 : 14\) соответственно?
Дано:
I сплав: серебро и золото относятся как \(1 : 4\)
II сплав: серебро и золото относятся как \(1 : 2\)
новый сплав: 95 г, серебро и золото относятся как \(5 : 14\)
Найти: массу первого и массу второго сплава.
Решение:
Серебро — 1 часть из \(1 + 4 = 5\), то есть \(\frac{1}{5}\) массы I сплава.
Серебро — 1 часть из \(1 + 2 = 3\), то есть \(\frac{1}{3}\) массы II сплава.
Серебро — 5 частей из \(5 + 14 = 19\): \(\frac{5}{19} \cdot 95 = 25\) (г) в новом сплаве.
Пусть \(x\) г — масса первого сплава, \(y\) г — масса второго:
\[\begin{cases} x + y = 95, \\ \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}y = 25; & | \cdot 15 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 95, \\ 3x + 5y = 375. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x = 95 - y\):
\[3(95 - y) + 5y = 375; \qquad 285 + 2y = 375; \qquad 2y = 90; \qquad y = 45.\]
\(x = 95 - 45 = 50\).
Проверка: \(\frac{1}{5} \cdot 50 + \frac{1}{3} \cdot 45 = 25\) (г) — серебро, \(95 - 25 = 70\) (г) — золото, и \(25 : 70 = 5 : 14\).
Ответ: 50 г первого сплава и 45 г второго сплава.
Имеются два сплава золота с серебром. В первом сплаве масса серебра относится к массе золота как \(1 : 4\), а во втором — как \(1 : 2\). Сколько граммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 95 г нового сплава, в котором серебро и золото находятся в отношении \(5 : 14\) соответственно?
Дано:
I сплав: серебро и золото относятся как \(1 : 4\)
II сплав: серебро и золото относятся как \(1 : 2\)
новый сплав: 95 г, серебро и золото относятся как \(5 : 14\)
Найти: массу первого и массу второго сплава.
Решение:
В первом сплаве серебро составляет 1 часть из \(1 + 4 = 5\), то есть \(\frac{1}{5}\) массы сплава. Во втором сплаве серебро составляет 1 часть из \(1 + 2 = 3\), то есть \(\frac{1}{3}\) массы сплава.
В новом сплаве на серебро приходится 5 частей из \(5 + 14 = 19\), поэтому масса серебра в нём равна \(\frac{5}{19} \cdot 95 = 25\) (г).
Пусть \(x\) г — масса первого сплава, \(y\) г — масса второго. Вместе они дают 95 г нового сплава, а серебра в них вместе 25 г:
\[\begin{cases} x + y = 95, \\ \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}y = 25. \end{cases}\]
Умножим второе уравнение на 15, чтобы избавиться от дробей:
\[\begin{cases} x + y = 95, \\ \frac{1}{5}x + \frac{1}{3}y = 25; & | \cdot 15 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 95, \\ 3x + 5y = 375. \end{cases}\]
Выразим \(x\) из первого уравнения: \(x = 95 - y\) — и подставим во второе:
\[3(95 - y) + 5y = 375; \qquad 285 + 2y = 375; \qquad 2y = 90; \qquad y = 45.\]
Тогда \(x = 95 - 45 = 50\).
Проверка: серебра в двух кусках \(\frac{1}{5} \cdot 50 + \frac{1}{3} \cdot 45 = 10 + 15 = 25\) (г), золота \(95 - 25 = 70\) (г), и \(25 : 70 = 5 : 14\) — отношение такое, как требуется по условию.
Ответ: 50 г первого сплава и 45 г второго сплава.
