Страница 238 номер 1307, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Петя загадал трёхзначное число. Если закрыть последнюю цифру Петиного числа и к получившемуся числу эту цифру прибавить, то новое число будет на 603 меньше исходного. А если из Петиного числа вычесть его же, но записанное в обратном порядке, то получится 396. Какое число загадал Петя?
Пусть \(x\) — цифра сотен загаданного числа, \(y\) — десятков, \(z\) — единиц; само число равно \(100x + 10y + z\).
Без последней цифры остаётся \(10x + y\), с прибавленной цифрой \(z\) — число \(10x + y + z\):
\[(100x + 10y + z) - (10x + y + z) = 603; \qquad 90x + 9y = 603; \qquad 10x + y = 67.\]
Число \(10x\) оканчивается нулём, поэтому \(y = 7\); тогда \(10x = 67 - 7 = 60\) и \(x = 6\).
В обратном порядке число равно \(100z + 10y + x\):
\[(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 396; \qquad 99x - 99z = 396; \qquad x - z = 4.\]
\(z = 6 - 4 = 2\), загаданное число равно \(100 \cdot 6 + 10 \cdot 7 + 2 = 672\).
Проверка: \(67 + 2 = 69\) и \(672 - 69 = 603\); в обратном порядке 276, и \(672 - 276 = 396\).
Ответ: Петя загадал число 672.
Петя загадал трёхзначное число. Если закрыть последнюю цифру Петиного числа и к получившемуся числу эту цифру прибавить, то новое число будет на 603 меньше исходного. А если из Петиного числа вычесть его же, но записанное в обратном порядке, то получится 396. Какое число загадал Петя?
Пусть \(x\) — цифра сотен загаданного числа, \(y\) — цифра десятков, \(z\) — цифра единиц. Тогда само число равно \(100x + 10y + z\).
Если закрыть последнюю цифру, останется двузначное число \(10x + y\), а после прибавления цифры \(z\) получится число \(10x + y + z\). Оно на 603 меньше загаданного:
\[(100x + 10y + z) - (10x + y + z) = 603; \qquad 90x + 9y = 603.\]
Разделим обе части на 9:
\[10x + y = 67.\]
Число \(10x\) оканчивается нулём, поэтому цифрой единиц числа 67 является \(y\), то есть \(y = 7\). Тогда \(10x = 67 - 7 = 60\), откуда \(x = 6\).
Записанное в обратном порядке число равно \(100z + 10y + x\). Его вычли из загаданного числа и получили 396:
\[(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 396; \qquad 99x - 99z = 396; \qquad x - z = 4.\]
Подставим \(x = 6\) и найдём цифру единиц: \(z = 6 - 4 = 2\). Значит, загаданное число равно \(100 \cdot 6 + 10 \cdot 7 + 2 = 672\).
Проверка: если закрыть последнюю цифру числа 672, останется 67, и \(67 + 2 = 69\), а \(672 - 69 = 603\) — первое условие выполнено. Записанное в обратном порядке число равно 276, и \(672 - 276 = 396\) — второе условие тоже выполнено.
Ответ: Петя загадал число 672.
