Страница 238 номер 1306, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Два числа таковы, что их удвоенная сумма на 23 больше их разности, а их утроенная сумма на 38 больше их разности. Найдите эти числа.
Пусть первое число равно \(x\), а второе — \(y\).
\[2(x + y) = (x - y) + 23; \qquad 2x + 2y - x + y = 23; \qquad x + 3y = 23.\]
\[3(x + y) = (x - y) + 38; \qquad 3x + 3y - x + y = 38; \qquad 2x + 4y = 38.\]
\[\begin{cases} x + 3y = 23, \\ 2x + 4y = 38; & | : (-2) \end{cases} \qquad \begin{cases} x + 3y = 23, \\ -x - 2y = -19. \end{cases}\]
\[(x + 3y) + (-x - 2y) = 23 + (-19); \qquad y = 4.\]
\[x + 3 \cdot 4 = 23; \qquad x = 23 - 12; \qquad x = 11.\]
Проверка: \(11 + 4 = 15\) — сумма, \(11 - 4 = 7\) — разность; \(2 \cdot 15 - 7 = 23\) и \(3 \cdot 15 - 7 = 38\) — оба условия выполнены.
Ответ: 11 и 4.
Два числа таковы, что их удвоенная сумма на 23 больше их разности, а их утроенная сумма на 38 больше их разности. Найдите эти числа.
Пусть первое число равно \(x\), а второе — \(y\). Тогда их сумма равна \(x + y\), а разность равна \(x - y\).
Удвоенная сумма на 23 больше разности; раскроем скобки и перенесём слагаемые с переменными в левую часть:
\[2(x + y) = (x - y) + 23; \qquad 2x + 2y - x + y = 23; \qquad x + 3y = 23.\]
Утроенная сумма на 38 больше разности:
\[3(x + y) = (x - y) + 38; \qquad 3x + 3y - x + y = 38; \qquad 2x + 4y = 38.\]
Получилась система:
\[\begin{cases} x + 3y = 23, \\ 2x + 4y = 38. \end{cases}\]
Разделим второе уравнение на \(-2\), чтобы коэффициенты при \(x\) отличались только знаком:
\[\begin{cases} x + 3y = 23, \\ 2x + 4y = 38; & | : (-2) \end{cases} \qquad \begin{cases} x + 3y = 23, \\ -x - 2y = -19. \end{cases}\]
Сложим уравнения полученной системы:
\[(x + 3y) + (-x - 2y) = 23 + (-19); \qquad y = 4.\]
Подставим \(y = 4\) в уравнение \(x + 3y = 23\):
\[x + 3 \cdot 4 = 23; \qquad x = 23 - 12; \qquad x = 11.\]
Проверка: сумма чисел равна \(11 + 4 = 15\), разность равна \(11 - 4 = 7\). Удвоенная сумма \(2 \cdot 15 = 30\) больше разности на \(30 - 7 = 23\), а утроенная сумма \(3 \cdot 15 = 45\) больше разности на \(45 - 7 = 38\) — оба условия выполнены.
Ответ: 11 и 4.
