Страница 238 номер 1305, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Если задуманное двузначное число сложить с суммой его цифр, то получится 85. Если же из задуманного числа вычесть 27, то получится двузначное число, записанное с помощью тех же цифр, что и первоначальное. Какое число задумано?
Пусть \(x\) — цифра десятков задуманного числа, \(y\) — цифра единиц; само число равно \(10x + y\), сумма цифр — \(x + y\).
\[(10x + y) + (x + y) = 85; \qquad 11x + 2y = 85.\]
После вычитания 27 получилось число с переставленными цифрами \(10y + x\):
\[(10x + y) - 27 = 10y + x; \qquad 9x - 9y = 27; \qquad x - y = 3.\]
\[\begin{cases} 11x + 2y = 85, \\ x - y = 3. \end{cases}\]
Из второго уравнения \(x = y + 3\):
\[11(y + 3) + 2y = 85; \qquad 13y + 33 = 85; \qquad 13y = 52; \qquad y = 4.\]
\(x = 4 + 3 = 7\), число равно \(10 \cdot 7 + 4 = 74\).
Проверка: \(74 + (7 + 4) = 85\); \(74 - 27 = 47\) — те же цифры 7 и 4.
Ответ: задумано число 74.
Если задуманное двузначное число сложить с суммой его цифр, то получится 85. Если же из задуманного числа вычесть 27, то получится двузначное число, записанное с помощью тех же цифр, что и первоначальное. Какое число задумано?
Пусть \(x\) — цифра десятков задуманного числа, а \(y\) — цифра его единиц. Тогда само число равно \(10x + y\), а сумма его цифр равна \(x + y\).
Число вместе с суммой своих цифр даёт 85:
\[(10x + y) + (x + y) = 85; \qquad 11x + 2y = 85.\]
После вычитания 27 число уменьшилось, поэтому получилось не оно само, а число с переставленными цифрами, то есть \(10y + x\):
\[(10x + y) - 27 = 10y + x; \qquad 9x - 9y = 27; \qquad x - y = 3.\]
Составим систему:
\[\begin{cases} 11x + 2y = 85, \\ x - y = 3. \end{cases}\]
Выразим \(x\) из второго уравнения: \(x = y + 3\) — и подставим в первое:
\[11(y + 3) + 2y = 85; \qquad 13y + 33 = 85; \qquad 13y = 52; \qquad y = 4.\]
Тогда \(x = 4 + 3 = 7\), и задуманное число равно \(10 \cdot 7 + 4 = 74\).
Проверка: \(74 + (7 + 4) = 74 + 11 = 85\) — первое условие выполнено; \(74 - 27 = 47\), и число 47 записано теми же цифрами 7 и 4 — второе условие тоже выполнено.
Ответ: задумано число 74.
