Страница 238 номер 1303, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Каждый из 69 семиклассников, сдававших экзамен, получил какую-то отметку: либо тройку, либо четвёрку, либо пятёрку. Сумма всех отметок равна 298. На сколько было больше пятёрок, чем троек?
Дано:
\(x\) — число троек, \(y\) — число четвёрок, \(z\) — число пятёрок
\(x + y + z = 69\)
\(3x + 4y + 5z = 298\)
Найти: \(z - x\) — на сколько пятёрок больше, чем троек.
Решение:
\[\begin{cases} x + y + z = 69, & | \cdot (-4) \\ 3x + 4y + 5z = 298; \end{cases} \qquad \begin{cases} -4x - 4y - 4z = -276, \\ 3x + 4y + 5z = 298. \end{cases}\]
\[(-4x - 4y - 4z) + (3x + 4y + 5z) = -276 + 298; \qquad -x + z = 22.\]
Значит, \(z - x = 22\) при любом наборе отметок; сколько было троек, четвёрок и пятёрок в отдельности, не определить.
Проверка: при 5 тройках, 37 четвёрках и 27 пятёрках \(5 + 37 + 27 = 69\), сумма \(3 \cdot 5 + 4 \cdot 37 + 5 \cdot 27 = 298\), и \(27 - 5 = 22\).
Ответ: пятёрок было на 22 больше, чем троек.
Каждый из 69 семиклассников, сдававших экзамен, получил какую-то отметку: либо тройку, либо четвёрку, либо пятёрку. Сумма всех отметок равна 298. На сколько было больше пятёрок, чем троек?
Дано:
\(x\) — число троек, \(y\) — число четвёрок, \(z\) — число пятёрок
\(x + y + z = 69\)
\(3x + 4y + 5z = 298\)
Найти: \(z - x\) — на сколько пятёрок больше, чем троек.
Решение:
Отметок всего 69, а их сумма равна 298. Запишем эти условия системой:
\[\begin{cases} x + y + z = 69, \\ 3x + 4y + 5z = 298. \end{cases}\]
Умножим первое уравнение на \(-4\), чтобы при сложении уничтожились слагаемые с переменной \(y\):
\[\begin{cases} x + y + z = 69, & | \cdot (-4) \\ 3x + 4y + 5z = 298; \end{cases} \qquad \begin{cases} -4x - 4y - 4z = -276, \\ 3x + 4y + 5z = 298. \end{cases}\]
Сложим уравнения полученной системы:
\[(-4x - 4y - 4z) + (3x + 4y + 5z) = -276 + 298; \qquad -x + z = 22.\]
Значит, \(z - x = 22\). Сколько именно было троек, четвёрок и пятёрок, из условия определить нельзя, но разность числа пятёрок и числа троек при любом наборе отметок равна 22.
Проверка: если троек 5, четвёрок 37, а пятёрок 27, то отметок \(5 + 37 + 27 = 69\), их сумма равна \(3 \cdot 5 + 4 \cdot 37 + 5 \cdot 27 = 15 + 148 + 135 = 298\), и пятёрок на \(27 - 5 = 22\) больше, чем троек.
Ответ: пятёрок было на 22 больше, чем троек.
