Страница 238 номер 1301, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) система уравнений \(\begin{cases} 2x - y = -3, \\ 5x + 3y = -13, \\ x + 5y = a \end{cases}\) имеет решение?
Решим систему из первых двух уравнений:
\[\begin{cases} 2x - y = -3, & | \cdot 3 \\ 5x + 3y = -13; \end{cases} \qquad \begin{cases} 6x - 3y = -9, \\ 5x + 3y = -13. \end{cases}\]
\[(6x - 3y) + (5x + 3y) = -9 + (-13); \qquad 11x = -22; \qquad x = -2.\]
\[2 \cdot (-2) - y = -3; \qquad -4 - y = -3; \qquad -y = 1; \qquad y = -1.\]
Решение у них единственное — пара \((-2; -1)\), поэтому вся система разрешима только при том \(a\), при котором эта пара подходит и к третьему уравнению \(x + 5y = a\):
\[a = -2 + 5 \cdot (-1) = -7.\]
Проверка: \(2 \cdot (-2) - (-1) = -3\) — верно; \(5 \cdot (-2) + 3 \cdot (-1) = -13\) — верно; \(-2 + 5 \cdot (-1) = -7\) — верно.
Ответ: при \(a = -7\).
При каких значениях параметра \(a\) система уравнений \(\begin{cases} 2x - y = -3, \\ 5x + 3y = -13, \\ x + 5y = a \end{cases}\) имеет решение?
Пара чисел является решением системы трёх уравнений только тогда, когда она обращает в верное равенство каждое из них. Решим систему, составленную из первых двух уравнений:
\[\begin{cases} 2x - y = -3, \\ 5x + 3y = -13. \end{cases}\]
Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \(y\) отличались только знаком:
\[\begin{cases} 2x - y = -3, & | \cdot 3 \\ 5x + 3y = -13; \end{cases} \qquad \begin{cases} 6x - 3y = -9, \\ 5x + 3y = -13. \end{cases}\]
Сложим уравнения полученной системы:
\[(6x - 3y) + (5x + 3y) = -9 + (-13); \qquad 11x = -22; \qquad x = -2.\]
Подставим \(x = -2\) в первое уравнение исходной системы:
\[2 \cdot (-2) - y = -3; \qquad -4 - y = -3; \qquad -y = 1; \qquad y = -1.\]
Первые два уравнения имеют единственное решение — пару \((-2; -1)\). Значит, вся система имеет решение только тогда, когда эта пара обращает в верное равенство и третье уравнение \(x + 5y = a\):
\[a = -2 + 5 \cdot (-1) = -2 - 5 = -7.\]
Проверка: при \(a = -7\) пара \((-2; -1)\) подходит ко всем трём уравнениям: \(2 \cdot (-2) - (-1) = -4 + 1 = -3\) — верно; \(5 \cdot (-2) + 3 \cdot (-1) = -10 - 3 = -13\) — верно; \(-2 + 5 \cdot (-1) = -2 - 5 = -7\) — верно.
Ответ: при \(a = -7\).
